Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 387
b) La ecuación se multiplica, sucesivamente, por 1, X 2 , X 3 y X 4 y se suma a ambos lados. Las ecuaciones normales son
P
X1 ¼ b 1:234 N þ b 12:34
P
X2 þ b 13:24
P
X3 þ b 14:23
P
X4
P
X1 X 2 ¼ b 1:234
P
X2 þ b 12:34
P X
2
2 þ b 13:24
P
X2 X 3 þ b 14:23
P
X2 X 4
P
X1 X 3 ¼ b 1:234
P
X3 þ b 12:34
P
X2 X 3 þ b 13:24
P X
2
3 þ b 14:23
P
X3 X 4
P
X1 X 4 ¼ b 1:234
P
X4 þ b 12:34
P
X2 X 4 þ b 13:24
P
X3 X 4 þ b 14:23
P X
2
4
Obsérvese que éstas no son deducciones de las ecuaciones normales, sino únicamente una manera formal para recordarlas.
El número de ecuaciones normales es igual al número de constantes desconocidas.
15.3 En la tabla 15.1 se presentan los pesos X 1 dados a la libra (lb) más cercana, las estaturas X 2 a la pulgada (in)
más cercana y las edades X 3 al año más cercano de 12 niños.
a) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 .
b) Determinar los valores estimados de X 1 a partir de los valores dados de X 2 y X 3 .
c) Estimar el peso de un niño de 9 años que mide 54 in.
d ) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados empleando EXCEL, MINITAB, SPSS y
STATISTIX.
Tabla 15.1
Peso (X 1 ) 64 71 53 67 55 58 77 57 56 51 76 68
Estatura (X 2 ) 57 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57
Edad (X 3 ) 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9
SOLUCIÓN
a) La ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse como
X 1 ¼ b 1:23 þ b 12:3 X 2 þ b 13:2 X 3
Las ecuaciones normales de la ecuación de regresión de mínimos cuadrados son
P P P
X1 ¼ b 1:23 N þ b 12:3 X2 þ b 13:2 X3
P
X1 X 2 ¼ b 1:23
P
X2 þ b 12:3
P X
2
2 þ b 13:2
P
X2 X 3
P
X1 X 3 ¼ b 1:23
P
X3 þ b 12:3
P
X2 X 3 þ b 13:2
P X
2
3
(19)
Para calcular las sumas se elabora la tabla 15.2. (Aunque la columna con el encabezado X 2 1 no se necesita en este
momento, se ha incluido para referencias futuras.) Empleando la tabla 15.2, las ecuaciones normales (19) se convierten
en
12b 1.23 + 643b 12.3 + 106b 13.2 = 753
643b 1.23 + 34 843b 12.3 + 5 779b 13.2 = 40 830
106b 1.23 + 5 779b 12.3 + 976b 13.2 = 6 796
(20)