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150 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.5 De una baraja, bien barajada, con 52 cartas se extraen dos cartas. Encuentre la probabilidad de que las dos sean
ases si la primera carta: a) se devuelve a la baraja y b) no se devuelve a la baraja.
SOLUCIÓN
Sea E 1 = evento “as” en la primera extracción y sea E 2 = evento “as” en la segunda extracción.
a) Si la primera carta se devuelve a la baraja, E 1 y E 2 son eventos independientes. Por lo tanto, Pr{las dos cartas extraídas
sean ases} = PrfE 1 E 2 g¼PrfE 1 g PrfE 2 g¼ð 4
52 Þð 4
52 Þ¼ 1
169 .
b) La primera carta se puede extraer de 52 maneras y la segunda puede extraerse de 51 maneras, ya que la primera carta
no se devuelve a la baraja. Por lo tanto, las dos cartas se pueden extraer de 52 · 51 maneras todas igualmente posibles.
Hay cuatro maneras en las que puede ocurrir E 1 y tres maneras en las que E 2 puede ocurrir, de manera que E 1 y
E 2 o E 1 E 2 puede ocurrir de 4 · 3 maneras. Por lo tanto, PrfE 1 E 2 g¼ð4 3Þ=ð52 51Þ ¼ 1
221 .
Obsérvese que PrfE 2 jE 1 g¼ Pr{segunda carta sea un as dado que la primera carta es un as} ¼ 3
51
. De manera
que este resultado ilustra la regla general PrfE 1 E 2 g¼PrfE 1 g PrfE 2 jE 1 g donde E 1 y E 2 son eventos dependientes.
6.6 De la caja del problema 6.3 se extraen, sucesivamente, tres pelotas. Encuéntrese la probabilidad de que se
extraigan en el orden roja, blanca y azul: a) si cada pelota se devuelve a la caja y b) si no se devuelve.
SOLUCIÓN
Sea R = evento “roja” en la primera extracción, W = evento “blanca” en la segunda extracción y B = evento “azul” en la
tercera extracción. Lo que se busca es Pr{RWB}.
a) Si cada una de las pelotas se devuelve, entonces R, W y B son eventos independientes y
6 4 5
PrfRWBg ¼PrfRg PrfWg PrfBg ¼
¼ 6
4 5
¼ 8
6 þ 4 þ 5 6 þ 4 þ 5 6 þ 4 þ 5 15 15 15 225
b) Si las pelotas no se devuelven, entonces R, W y B son eventos dependientes y
6 4 5
PrfRWBg ¼PrfRg PrfWjRg PrfBjWRg ¼
6 þ 4 þ 5 5 þ 4 þ 5 5 þ 3 þ 5
¼ 6
4 5
¼ 4
15 14 13 91
donde Pr{B|WR} es la probabilidad condicional de extraer una pelota azul si se han extraído ya una roja y una
blanca.
6.7 Encuéntrese la probabilidad de que en dos lanzamientos de un dado se obtenga por lo menos un 4.
SOLUCIÓN
Sea E 1 = el evento “4” en el primer lanzamiento, E 2 = el evento “4” en el segundo lanzamiento y E 1 + E 2 = el evento “4”
en el primer lanzamiento o “4” en el segundo lanzamiento o ambos = el evento de obtener por lo menos un 4. Lo que se
busca es Pr{E 1 + E 2 }.
Primer método
Los dos dados pueden caer en un total de 6 · 6 = 36 maneras igualmente posibles. Además,
Cantidad de maneras en las que puede ocurrir E 1 pero no E 2 = 5
Cantidad de maneras en las que puede ocurrir E 2 pero no E 1 = 5
Cantidad de maneras en las que pueden ocurrir E 1 y E 2 = 1
Por lo tanto, la cantidad de maneras en las que puede ocurrir por lo menos uno de los eventos E 1 o E 2 es 5 + 5 + 1 = 11,
y por lo tanto, Pr{E 1 þ E 2 g¼ 11
36 .