Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 267
SOLUCIÓN
Obsérvese que la proporción de personas que sana en cada grupo es 225/300 = 0.750 y 195/300 = 0.650, respectivamente,
que son las mismas que en el problema 10.20. De acuerdo con la hipótesis H 0
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1−P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:70Þð0:30Þ
N 1 N 2
300 þ 1
¼ 0:0374
300
donde (225 + 195)/600 = 0.70 se usa como estimación de p. Por lo tanto,
z ¼ P 1 P 2
P1 P2
¼
0:750 0:650
¼ 2:67
0:0374
Como el valor de z es mayor que 2.33, la hipótesis nula se puede rechazar al nivel de significancia 0.01; es decir, se puede
concluir que el suero es efectivo con una probabilidad de estar equivocado de sólo 0.01.
Esto muestra cómo al aumentar el tamaño de la muestra se incrementa la confiabilidad de las decisiones. Sin embargo,
en muchos casos suele no ser posible aumentar el tamaño de la muestra. En esos casos se está forzado a tomar las
decisiones con base en la información disponible, y por lo tanto se debe conformar con correr mayor riesgo de tomar una
decisión incorrecta.
valor p =1-NORMDIST(2.67) = 0.003793. Esto es menor a 0.01.
10.22 Se realizó un sondeo en una muestra de 300 votantes del distrito A y 200 votantes del distrito B; se encontró
que 56 y 48%, respectivamente, estaban a favor de determinado candidato. Al nivel de significancia 0.05,
probar las hipótesis: a) existe diferencia entre los distritos, b) el candidato se prefiere en el distrito A y c)
calcular el valor p de los incisos a) y b).
SOLUCIÓN
Sean p 1 y p 2 las proporciones de todos los votantes de los distritos A y B que están a favor de este candidato. Bajo la hipótesis
H 0 : p 1 = p 2 , se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1−P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:528Þð0:472Þ
N 1 N 2
300 þ 1
¼ 0:0456
200
donde se emplean los valores [(0.56)(300) + (0.48)(200)]/500 = 0.528 y (1 − 0.528) = 0.472 como estimaciones de p y
q, respectivamente. Por lo tanto,
z ¼ P 1 P 2
P1 P2
¼
0:560 0:480
¼ 1:75
0:0456
a) Si sólo se desea determinar si existe alguna diferencia entre los distritos, hay que decidir entre las hipótesis H 0 : p 1 =
p 2 y H 1 : p 1 ≠ p 2 , lo que implica una prueba de dos colas. Usando una prueba de dos colas al nivel de significancia 0.05,
H 0 se puede rechazar si z está fuera del intervalo −1.96 a 1.96. Como z = 1.75 se encuentra en este intervalo, a este
nivel no se puede rechazar H 0 ; esto es, no hay diferencia significativa entre los dos distritos.
b) Si se desea determinar si el candidato es preferido en el distrito A, hay que decidir entre las hipótesis H 0 : p 1 = p 2 y
H 1 : p 1 > p 2 , lo que implica una prueba de una cola. Usando una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05, H 0
se rechaza si z es mayor a 1.645. Dado que éste es el caso, se rechaza H 0 a este nivel de significancia y se concluye
que el candidato es preferido en el distrito A.
c) Con la alternativa de dos colas, el valor p =2*(1-NORMDIST(1.75)) = 0.0801. A α = 0.05 no se puede rechazar la
hipótesis nula. Con la alternativa de una cola, valor p =1-NORMDIST(1.75) = 0.04006. A α = 0.05 se puede rechazar
la hipótesis nula.
PRUEBAS EMPLEANDO DISTRIBUCIONES BINOMIALES
10.23 Un profesor aplica un pequeño examen en el que hay 10 preguntas de verdadero o falso. Para probar la hipótesis
de que los alumnos contestan sólo adivinando, el profesor adopta la siguiente regla de decisión:
Si hay siete o más de las respuestas correctas, el estudiante no está sólo adivinando.
Si hay menos de siete respuestas correctas, el estudiante está sólo adivinando.