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62 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos valores típicos tienden a encontrarse
en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce
también como medidas de tendencia central.
Se pueden definir varios tipos de promedios; los más usados son la media aritmética, la mediana, la moda, la media
geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el
propósito de su uso.
LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N se denota así: X (que se
lee “X barra”) y está definida como
X ¼ X 1 þ X 2 þ X 3 þþX N
N
¼
X N
X j
j¼1
N
¼ P X
N
(1)
EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es
X ¼
8 þ 3 þ 5 þ 12 þ 10
¼ 38
5
5 ¼ 7:6
Si los números X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan f 1 , f 2 , . . . , f K veces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias
f 1 , f 2 , . . . , f K ), su media aritmética es
X = f 1X 1 + f 2 X 2 f K X K
=
f 1 + f 2 f K
∑ K
j=1
∑ K
j=1
f j X j ∑ ∑ fX fX
= ∑ = f N
f j
donde N ¼ P f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos).
EJEMPLO 5 Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, respectivamente, su media aritmética es
X ¼ ð3Þð5Þþð2Þð8Þþð4Þð6Þþð1Þð2Þ
3 þ 2 þ 4 þ 1
¼
15 þ 16 þ 24 þ 2
¼ 5:7
10
(2)
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Algunas veces, a los números X 1 , X 2 ,..., X K se les asignan ciertos factores de ponderación (o pesos) w 1 , w 2 ,..., w K ,
que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números. En este caso, a
X ¼ w P
1X 1 þ w 2 X 2 þþw K X k wX
¼ P (3)
w 1 þ w 2 þþw K w
se le llama media aritmética ponderada. Obsérvese la semejanza con la ecuación (2), la cual se puede considerar como
una media aritmética ponderada con pesos f 1 , f 2 ,..., f K .
EJEMPLO 6 Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85
en el examen final, y 70 y 90 en los dos exámenes parciales, su puntuación media es
X ¼ ð1Þð70Þþð1Þð90Þþð3Þð85Þ
1 þ 1 þ 3
¼ 415
5 ¼ 83