Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 231
ESTIMADORES INSESGADOS Y EFICIENTES
PROBLEMAS RESUELTOS
9.1 Dar un ejemplo de estimadores (o estimaciones) que sean: a) insesgados y eficientes, b) insesgados e ineficientes
y c) sesgados e ineficientes.
SOLUCIÓN
a) La media muestral X y la varianza muestral
^s 2 ¼
son dos ejemplos.
b) La mediana muestral y el estadístico muestral 1 2 ðQ 1 þ Q 3 Þ, donde Q 1 y Q 3 son los cuartiles muestrales inferior y
superior, son dos de estos ejemplos. Ambos estadísticos son estimaciones insesgadas de la media poblacional, ya que
la media de sus distribuciones muestrales es la media poblacional.
c) La desviación estándar s, la desviación estándar modificada ^s, la desviación media y el rango semiintercuartil son
cuatro de estos ejemplos.
N
N
1 s2
9.2 Para el diámetro de un esfera, un científico obtiene una muestra de cinco mediciones, 6.33, 6.37, 6.36, 6.32 y
6.37 centímetros (cm). Obténganse estimaciones insesgadas y eficientes de: a) la verdadera media y b) la verdadera
varianza.
SOLUCIÓN
a) La estimación insesgada y eficiente de la verdadera media (es decir, de la media poblacional) es
P X 6:33 þ 6:37 þ 6:36 þ 6:32 þ 6:37
X ¼ ¼ ¼ 6:35 cm
N 5
b) La estimación insesgada y eficiente de la verdadera varianza (es decir de la varianza poblacional) es
^s 2 ¼
N P ðX ^XÞ 2
N 1 s2 ¼
N 1
¼ ð6:33 6:35Þ2 þð6:37 6:35Þ 2 þð6:36 6:35Þ 2 þð6:32 6:35Þ 2 þð6:37 6:35Þ 2
5 1
¼ 0:00055 cm 2
p
Obsérvese que aunque ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:00055 ¼ 0:023 cm es una estimación de la verdadera desviación estándar, esta
estimación no es ni insesgada ni eficiente.
9.3 Supóngase que las estaturas de 100 estudiantes varones de la universidad XYZ representan una muestra aleatoria
de las estaturas de los 1 546 estudiantes de esa universidad. Determinar estimaciones insesgadas y eficientes:
a) para la verdadera media y b) para la verdadera varianza.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 3.22, la estimación insesgada y eficiente de la verdadera estatura media es X = 67.45
pulgadas (in).
b) De acuerdo con el problema 4.17, la estimación insesgada y eficiente de la verdadera varianza es
^s 2 ¼
N
N 1 s2 ¼ 100 ð8:5275Þ ¼8:6136
99
p
Por lo tanto, ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:6136 ¼ 2:93 in. Obsérvese que como N es grande, en esencia no hay diferencia entre s 2 y ^s 2 o
entre s y ^s.