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182 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
Mediante la información obtenida en el último cuadro de diálogo, se tiene que: la probabilidad de que ninguno se titule es
Pr{X = 0} = Binomial(0,5,0.4) = 0.07776. La probabilidad de que 1 se titule es Pr{X = 1} = Pr{X ≤ 1} − Pr{X ≤ 0} =
Binomial(1,5,0.4) − Binomial(0,5,0.4) = 0.33696 – 0.07776 = 0.2592. La probabilidad de que por lo menos 1 se titule es
Pr{X ≥ 1} = 1 − Pr{X = 0} = 1 – Binomial(0,5,0.4) = 0.92224. La probabilidad de que todos se titulen es Pr{X = 5} =
Pr{X ≤ 5} − Pr{X ≤ 4} = Binomial(5,5,0.4) −Binomial(4,5,0.4) = 1.00000 – 0.98976 = 0.01024. Obsérvese que
STATISTIX únicamente da la probabilidad binomial acumulada y también algunas de las tablas que aparecen en los libros
de texto dan únicamente probabilidades binomiales acumuladas.
7.9 ¿Cuál es la probabilidad de que en 6 lanzamientos de un par de dados se obtenga como suma 9: a) dos veces y
b) por lo menos 2 veces?
SOLUCIÓN
Cada una de las 6 maneras en que puede caer el primer dado se asocia con cada una de las 6 maneras en que puede caer el
segundo dado; por lo tanto, hay 6 · 6 = 36 maneras en que pueden caer los dos dados. Se puede tener: 1 en el primer dado
y 1 en el segundo dado, 1 en el primer dado y 2 en el segundo dado, etc., lo que se denota (1, 1), (1, 2), etcétera.
De estas 36 maneras (todas igualmente probables), la suma 9 se obtiene en 4 casos: (3, 6), (4, 5), (5, 4) y (6, 3). Por
lo tanto, la probabilidad de que en un lanzamiento de los dos dados la suma sea 9 es p ¼ 4
36 ¼ 1 9
y la probabilidad de que en
un lanzamiento la suma de los dos dados no sea 9 es q ¼ 1 p ¼ 8 9 .
a) Pr{2 nueves en 6 lanzamientos} ¼ 6 1 2
8 6 2
¼ 61,440
2 9 9 531,441
b) Pr{por lo menos 2 nueves} = Pr{2 nueves} + Pr{3 nueves} + Pr{4 nueves} + Pr{5 nueves} + Pr{6 nueves}
¼ 6 1 2
8 4
þ 6 1 3
8 3
þ 6 1 4
8 2
þ 6 1 5
8 1
þ 6 1 6
8 0
2 9 9 3 9 9 4 9 9 5 9 9 6 9 9
61 440
531 441
Otro método
10 240
531 441 960
53 1441 48
531 441 1 72 689
531 441 531 441
Pr{por lo menos 2 nueves} = 1 − Pr{0 nueves} − Pr{1 nueve}
6 1 0
8 6
6 1 1
8 5
¼ 1
¼ 72,689
0 9 9 1 9 9 531,441
7.10 Evaluar: a) P N
X¼0 XpðXÞ y b) P N
X¼0 X2 pðXÞ, donde pðXÞ ¼ð N X Þpx q N X .
SOLUCIÓN
a) Como q + p = 1,
X N
X¼0
XpðXÞ ¼ XN
X¼1
X
¼ Npðq þ pÞ N
N!
X! ðN XÞ! pX q N X ¼ Np XN
1 ¼ Np
X¼1
ðN 1Þ!
ðX 1Þ!ðN XÞ! pX 1 q N X
b)
X N
X¼0
X 2 pðXÞ ¼ XN
X¼1
X 2 N!
X!ðN XÞ! pX q N X ¼ XN
X¼1
½XðX
1ÞþXŠ
N!
X!ðN XÞ! pX q N X
¼ XN
X¼2
¼ NðN
¼ NðN
XðX
1Þ
1Þp 2 XN
N!
X!ðN XÞ! pX q N X þ XN
X¼2
1Þp 2 þ Np
X¼1
X
N!
X!ðN XÞ! pX q N X
ðN 2Þ!
ðX 2Þ!ðN XÞ! pX 2 q N X þ Np ¼ NðN 1Þp 2 ðq þ pÞ N 2 þ Np