Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

392 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
15.7 Dados los datos del problema 15.3, determinar: a) el promedio de incremento en el peso por pulgada de incremento
en la altura de niños de una misma edad, y b) el promedio de incremento en el peso por año en niños de
una misma estatura.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la ecuación de regresión obtenida en el problema 15.3a) o 15.6, se encuentra que la respuesta para a) es
0.8546, o bien 0.9 lb, y la respuesta para b) es 1.5063, o bien 1.5 lb, aproximadamente.
15.8 Mostrar que las ecuaciones (3) y (4) de este capítulo se obtienen de las ecuaciones (1) y (2).
SOLUCIÓN
De acuerdo con la primera de las ecuaciones (2), dividiendo ambos lados entre N se tiene
X 1 ¼ b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3 (23)
Restando la ecuación (23) de la ecuación (1) se obtiene
X 1
X 1 ¼ b 12:3 ðX 2
X 2 Þþb 13:2 ðX 3
X 3 Þ
o bien x 1 ¼ b 12:3 x 2 þ b 13:2 x 3 (24)
que es la ecuación (3).
Sean X 1 ¼ x 1 þ X 1 , X 2 ¼ x 2 þ X 2 y X 3 ¼ x 3 þ X 3 en la segunda y tercera ecuación de las ecuaciones (2). Entonces,
después de algunas simplificaciones algebraicas y empleando los resultados P x 1 ¼ P x 2 ¼ P x 3 ¼ 0, estas ecuaciones
se convierten en
P
x1 x 2 ¼ b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3 þ N X 2 ½b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3
X 1 Š (25)
P
x1 x 3 ¼ b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3 þ N X 3 ½b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3
X 1 Š (26)
las cuales se reducen a las ecuaciones (4) debido a que las cantidades que se encuentran entre corchetes en el lado derecho
de las ecuaciones (25) y (26) son cero de acuerdo con la ecuación (1).
15.9 Deducir la ecuación (5) que se repite a continuación:
x 1
¼ r 12 r 13 r 23
s 1 1 r 2 23
x2
s 2
þ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
x3
s 3
(5)
SOLUCIÓN
De acuerdo con las ecuaciones (25) y (26)
b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3 ¼ P x 1 x 2
b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3 ¼ P x 1 x 3
(27)
Como
P x
s 2 2
2 ¼ 2
N
y
s 2 3 ¼
P x
2
3
N
P x
2
2 ¼ Ns 2 2 y P x 2 3 ¼ Ns 2 3. Dado que
P P
x2 x
r 23 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x2 x
q
ð P ¼ 3
x 2 2 ÞðP x 2 3 Þ Ns 2 s 3
P
x2 x 3 ¼ Ns 2 s 3 r 23 . De igual manera, P x 1 x 2 ¼ Ns 1 s 2 r 12 y P x 1 x 3 ¼ Ns 1 s 3 r 13 .