Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

ECUACIONES LOGARÍTMICAS 7
EJEMPLO 34 El número e puede definirse como un límite. La cantidad (1 + (1/x)) x se va acercando a e a medida que x va
creciendo. Obsérvense las evaluaciones de EXCEL de (1 + (1/x)) x para x = 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000.
x 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
(11/x)^x 2 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.71828
Los números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000 se ingresan en B1:H1 y la expresión = (1 + 1/B1)ˆB1
se ingresa en B2, se hace clic y se arrastra de B2 a H2. Esto se expresa matemáticamente mediante la expresión
lím x→∞ (1 + (1/x)) x = e.
EJEMPLO 35 El saldo de una cuenta que gana interés compuesto n veces por año está dado por A(t) = P(1 + (r/n)) nt donde P
es el capital, r es la tasa de interés, t es el tiempo en años y n es el número de periodos compuestos por año. El saldo de una cuenta
que gana interés continuo está dado por A(t) = Pe rt . Para comparar el crecimiento de $1 000 a interés continuo con el de $1 000 a
interés compuesto trimestralmente, después de 1, 2, 3, 4 y 5 años, ambos a una tasa de interés de 5%, se usa EXCEL. Los resultados
son:
Años 1 2 3 4 5
Trimestralmente 1 050.95 1 104.49 1 160.75 1 219.89 1 282.04
Continuamente 1 051.27 1 105.17 1 161.83 1 221.4 1 284.03
Se ingresan los tiempos 1, 2, 3, 4 y 5 en B1:F1; en B2 se ingresa la expresión de EXCEL =1 000*(1.0125)ˆ(4*B1),
se hace clic y se arrastra desde B2 hasta F2. En B3 se ingresa la expresión =1 000*EXP(0.05*B1), se hace clic y se
arrastra desde B3 hasta F3. El interés continuo compuesto da resultados ligeramente mejores.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Las propiedades más importantes de los logaritmos son las siguientes:
1. log b MN = log b M + log b N
2. log b M/N = log b M − log b N
3. log b M P = p log b M
EJEMPLO 36 Escriba log b (xy 4 /z 3 ) como suma o diferencia de logaritmos de x, y y z.
xy 4
log b
z 3 = log b xy 4 log b z 3 propiedad 2
xy 4
log b
z 3 = log b x + log b y 4 log b z 3 propiedad 1
xy 4
log b
z 3 = log b x + 4 log b y 3log b z propiedad 3
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Para resolver ecuaciones logarítmicas:
1. Todos los logaritmos se aíslan en un lado de la ecuación.
2. Las sumas o diferencias de logaritmos se expresan como un solo logaritmo.
3. La ecuación obtenida en el paso 2 se expresa en forma exponencial.
4. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 3.
5. Se verifican las soluciones.