Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN 351
RECTAS DE REGRESIÓN Y EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
La ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados Y = a 0 + a 1 X, la recta de regresión de Y sobre X, puede
expresarse como
Y Y ¼ rs Y
ðX XÞ o bien y ¼ rs Y
x (25)
s X s X
De igual manera, la recta de regresión de X sobre Y, X = b 0 + b 1 Y, puede expresarse como
X X ¼ rs X
ðY YÞ o bien x ¼ rs X
y (26)
s Y s Y
Las pendientes de las rectas de regresión (25) y (26) son iguales si y sólo si r = ±1. En esos casos las dos rectas
son idénticas y existe una perfecta correlación entre X y Y. Si r = 0, las rectas forman ángulos rectos y no hay correlación
lineal entre X y Y. Por lo tanto, el coeficiente de correlación lineal mide qué tanto se apartan las dos rectas de
regresión.
Obsérvese que si las ecuaciones (25) y (26) se expresan como Y = a 0 + a 1 X y X = b 0 + b 1 Y, respectivamente,
entonces a 1 b 1 = r 2 (ver problema 14.22).
CORRELACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
Si las variables X y Y dependen del tiempo, es posible que entre X y Y exista una relación, aunque esta relación no sea,
necesariamente, de dependencia directa y produzca una “correlación sin sentido”. El coeficiente de correlación se
obtiene considerando los pares de valores (X, Y ) correspondientes a los distintos tiempos y procediendo como de costumbre,
haciendo uso de las fórmulas anteriores (ver problema 14.28).
También se puede tratar de correlacionar los valores de una variable X en cierto tiempo con los correspondientes
valores de X en un tiempo anterior. A esta correlación se le llama autocorrelación.
CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS
Los métodos descritos en este capítulo no permiten considerar la correlación entre variables, por naturaleza, no numéricas;
por ejemplo, atributos de individuos (como color de pelo, color de ojos, etc.). La correlación de atributos se
analiza en el capítulo 12.
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN
Los N pares de valores (X, Y ) de dos variables pueden considerarse como muestras de una población que consta de
todos estos pares. Como hay dos variables, a esta población se le llama población bivariada, la que se supondrá tiene
una distribución normal bivariada.
Se puede pensar que existe un coeficiente de correlación poblacional teórico, denotado ρ, que se estima por el
coeficiente de correlación muestral r. Las pruebas de significancia o de hipótesis relacionadas con los diferentes valores
de ρ requieren del conocimiento de la distribución muestral de r. Para ρ = 0 esta distribución es simétrica y se usa
un estadístico que implica la distribución de Student. Para ρ ≠ 0 esta distribución es sesgada; en ese caso, una transformación
desarrollada por Fischer da un estadístico que está distribuido en forma aproximadamente normal. Las
pruebas siguientes resumen los procedimientos empleados:
1. Prueba de hipótesis ρ = 0. Aquí se emplea el hecho de que el estadístico
t ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(27)
1 r 2
tiene una distribución de Student con ν = N − 2 grados de libertad (ver problemas 14.31 y 14.32).