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PLANOS DE REGRESIÓN Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN 383
A la ecuación (1) se le llama ecuación de regresión lineal de X 1 sobre X 2 y X 3 . En un sistema rectangular tridimensional
de coordenadas, esta ecuación representa un plano al que se le conoce como plano de regresión, que es una
generalización de la recta de regresión para dos variables, considerada en el capítulo 13.
ECUACIONES NORMALES PARA LOS PLANOS DE
REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
Así como existen rectas de regresión de mínimos cuadrados que aproximan un conjunto de puntos (X, Y) en un diagrama
de dispersión bidimensional, también existen planos de regresión de mínimos cuadrados que se ajustan a un conjunto
de N puntos (X 1 , X 2 , X 3 ) en un diagrama de dispersión tridimensional.
El plano de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 tiene la ecuación (1), donde b 1.23 , b 12.3 y b 13.2 se
determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones normales
P
X1 ¼ b 1:23 N þ b 12:3
P
X2 þ b 13:2
P
X3
P
X1 X 2 ¼ b 1:23
P
X2 þ b 12:3
P X
2
2 þ b 13:2
P
X2 X 3
P
X1 X 3 ¼ b 1:23
P
X3 þ b 12:3
P
X2 X 3 þ b 13:2
P X
2
3
(2)
Estas ecuaciones pueden obtenerse formalmente multiplicando, en cada caso, ambos lados de la ecuación (1) por 1,
por X 2 y por X 3 , y sumando después ambos lados.
A menos que se especifique otra cosa, siempre que se haga referencia a una ecuación de regresión se entenderá que
se está haciendo referencia a la ecuación de regresión de mínimos cuadrados.
Si x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 y x 3 ¼ X 3
X 3 , la ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse
de manera más sencilla como
donde b 12.3 y b 13.2 se obtienen resolviendo simultáneamente las ecuaciones
x 1 ¼ b 12:3 x 2 þ b 13:2 x 3 (3)
P
x1 x 2 ¼ b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3
P
x1 x 3 ¼ b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3
(4)
Estas ecuaciones, que son equivalentes a las ecuaciones normales (2), se obtienen formalmente multiplicando, de
manera sucesiva, ambos lados de la ecuación (3) por x 2 y por x 3 , y después sumando ambos lados (ver problema
15.8).
PLANOS DE REGRESIÓN Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN
Si los coeficientes de correlación entre las variables X 1 y X 2 , X 1 y X 3 , y X 2 y X 3 , que se calcularon en el capítulo 14, se
denotan respectivamente r 12 , r 13 y r 23 (también llamados coeficientes de correlación de orden cero), entonces la ecuación
del plano de regresión de mínimos cuadrados tiene la ecuación
x 1
¼ r
12 r 13 r 23 x2
s 1 1 r 2 23
s 2
þ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
x3
s 3
(5)
donde x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 y x 3 ¼ X 3
X 3 , y donde s 1 , s 2 y s 3 son, respectivamente, las desviaciones estándar
de X 1 , X 2 y X 3 (ver problema 15.9).
Obsérvese que si la variable X 3 no existe y si X 1 = Y y X 2 = X entonces la ecuación (5) se reduce a la ecuación (25)
del capítulo 14.