Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

VALORES ESPERADOS DE LAS VARIACIONES 405
donde T es la suma de todos los valores X jk y donde T j. es la suma de todos los valores del tratamiento j-ésimo:
T ¼ X j;k
X jk
T j: ¼ X k
X jk (13)
En la práctica, conviene sustraer, de cada dato de la tabla, un valor fijo con objeto de simplificar los cálculos; esto no
afecta el resultado final.
MODELO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Cada renglón de la tabla 16.1 se considera como una muestra aleatoria de tamaño b tomada de la población de ese
determinado tratamiento. Las X jk difieren de la media poblacional µ j correspondiente al tratamiento j en un error aleatorio
que se denota ε jk ; por lo tanto,
X jk ¼ j þ " jk (14)
Se supone que estos errores están distribuidos de manera normal con media 0 y varianza σ 2 . Si µ es la media de
la población de todos los tratamientos y si se denota α j = µ j − µ, entonces µ j = µ + α j , y la ecuación (14) se convierte
en
X jk ¼ þ j þ " jk (15)
donde P j
j ¼ 0 (ver problema 16.18). De acuerdo con la ecuación (15) y con la suposición de que las ε jk están distribuidas
de manera normal con media 0 y varianza σ 2 , se concluye que las X jk se pueden considerar como variables
aleatorias distribuidas en forma normal, con media µ y varianza σ 2 .
La hipótesis nula de que todas las medias de los tratamientos son iguales está dada por (H 0 : α j = 0; j = 1, 2, . . . , a)
o, lo que es equivalente, por (H 0 : µ j = µ; j = 1, 2, . . . , a). Si H 0 es verdadera, todas las poblaciones de los tratamientos
tendrán la misma distribución normal (es decir, con la misma media y varianza). En estos casos, sólo hay un tratamiento
poblacional (es decir, todos los tratamientos son estadísticamente idénticos); en otras palabras, no hay diferencia
significativa entre los tratamientos.
VALORES ESPERADOS DE LAS VARIACIONES
Como se puede demostrar (ver problema 16.19), los valores esperados de V W , V B y V están dados por
EðV W Þ¼aðb 1Þ 2 (16)
EðV B Þ¼ða
1Þ 2 þ b X j
2 j (17)
EðVÞ ¼ðab
1Þ 2 þ b X j
2 j (18)
De acuerdo con la ecuación (16) se tiene
V
E W
¼ 2 (19)
aðb 1Þ
de manera que ^S W 2 ¼ V W
aðb 1Þ
(20)
siempre es la mejor estimación (insesgada) de σ 2 , sin importar si H 0 es o no verdadera. Por otro lado, de acuerdo con
las ecuaciones (17) y (18) se ve que sólo si H 0 es verdadera (es decir, α j = 0) se tendrá
E
V
B
¼ 2 V
y E ¼ 2 (21)
a 1
ab 1