Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

438 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Ahora para cualquier variable aleatoria U, E(U 2 ) = var(U) + [E(U)] 2 , donde var(U) denota la varianza de U. Por lo
tanto,
Eð X j:Þ 2 ¼var ð X j: Þþ½Eð X j: ÞŠ 2 (56)
Eð X 2 Þ¼var ð XÞþ½Eð XÞŠ 2 (57)
Pero como las poblaciones de los tratamientos son normales, con media µ j = µ + α j , se tiene
var ð X j: Þ¼ 2
b
var ð XÞ ¼ 2
ab
(58)
(59)
Usando las ecuaciones (56) a (61) junto con la ecuación (55), se tiene
" # " #
EðV B Þ¼b X 2
b þð þ jÞ 2 ab 2
ab þ 2
Eð X j: Þ¼ j ¼ þ j (60)
Eð XÞ ¼ (61)
¼ a 2 þ b X ð þ j Þ 2 2 ab 2
¼ða 1Þ 2 þ ab 2 þ 2b X j þ b X 2 j þ ab 2
¼ða
1Þ 2 þ b X 2 j
16.20 Probar el teorema 1 de este capítulo.
SOLUCIÓN
Como se muestra en el problema 16.19,
V W ¼ b Xa
Sj
2
j¼1
o bien
V W
2
¼ Xa
j¼1
donde S 2 j es la varianza muestral de muestras de tamaño b obtenidas de la población del tratamiento j. Se ve que bS 2 j = 2
tiene una distribución ji cuadrada con b − 1 grados de libertad. Por lo tanto, como las varianzas S j 2 son independientes, se
concluye, de acuerdo con la página 299, que V W /σ 2 tiene una distribución ji cuadrada con a(b − 1) grados de libertad.
bS 2 j
2