Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

278 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
donde ν = N − 1 es el número de grados de libertad y Y 0 es una constante que depende de ν, de manera que el área
bajo la curva sea 1. En la figura 11-2 se presentan distribuciones ji cuadrada correspondientes a diversos valores de ν.
El valor máximo de Y se obtiene cuando χ 2 = ν − 2 para ν ≥ 2.
0.5
0.4
0.3
a)
0.2
0.1
b)
c)
d )
0.0
0
5
10
15
20
Figura 11-2 Distribuciones ji cuadrada correspondientes a: a) 2, b) 4, c) 6 y d ) 10 grados de libertad.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA
Como se hizo con la distribución normal y con la distribución t, pueden definirse límites de confianza de 95%, 99%,
u otros límites empleando la tabla de distribución χ 2 que se presenta en el apéndice IV. De esta manera puede estimarse
la desviación estándar poblacional σ en términos de la desviación estándar muestral dentro de determinados límites
de confianza.
Por ejemplo, si 2 :025 y X 2 :975 son los valores de χ 2 (llamados valores críticos), tales que 2.5% del área se encuentra
repartida en ambas colas de la distribución, entonces el intervalo de confianza de 95% es
2 :025 < Ns2
2 <2 :975 (10)
de donde se ve que puede estimarse que σ se encuentra en el intervalo
pffiffiffiffi
s N
<< s
pffiffiffiffi
N
(11)
:975 :025
con 95% de confianza. De manera similar se pueden encontrar otros intervalos de confianza. Los valores χ .025 y χ .975
representan, respectivamente, los percentiles 2.5 y 97.5.
En el apéndice IV se encuentran valores percentiles correspondientes pffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a diversos grados de libertad ν. Si se tienen
valores grandes de ν (ν ≥ 30), se puede usar el hecho de que ð 2 2 2 1Þ se aproxima mucho a una distribución
normal con media 0 y desviación estándar 1; por lo tanto, las tablas para la distribución normal pueden emplearse
cuando ν ≥ 30. Si 2 p y z p son los percentiles p de la distribución ji cuadrada y de la distribución normal, respectivamente,
se tiene
2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ 2 (12)
En este caso hay una gran coincidencia con los resultados obtenidos en los capítulos 8 y 9.
Para más aplicaciones de la distribución ji cuadrada, ver el capítulo 12.
GRADOS DE LIBERTAD
Para calcular un estadístico, por ejemplo (1) y (8), es necesario emplear observaciones obtenidas de una muestra y
también ciertos parámetros poblacionales. Si estos parámetros no se conocen, es necesario estimarlos a partir de la
muestra.