Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 69
PROBLEMAS RESUELTOS
SUMATORIA
3.1 Escribir los términos de cada una de las sumas siguientes:
a)
X 6
j¼1
X j c)
X N
j¼1
a e)
X 3
j¼1
ðX j
aÞ
b)
X 4
j¼1
ðY j 3Þ 2 d )
X 5
k¼1
f k X k
SOLUCIÓN
a)
b)
c)
d )
e)
X 1 þ X 2 þ X 3 þ X 4 þ X 5 þ X 6
ðY 1 3Þ 2 þðY 2 3Þ 2 þðY 3 3Þ 2 þðY 4 3Þ 2
a þ a þ a þþa ¼ Na
f 1 X 1 þ f 2 X 2 þ f 3 X 3 þ f 4 X 4 þ f 5 X 5
ðX 1 aÞþðX 2 aÞþðX 3 aÞ¼X 1 þ X 2 þ X 3 3a
3.2 Expresar cada una de las sumas siguientes empleado el símbolo de sumatoria.
a)
b)
c)
d )
e)
X1 2 þ X2 2 þ X3 2 þþX10
2
ðX 1 þ Y 1 ÞþðX 2 þ Y 2 ÞþþðX 8 þ Y 8 Þ
f 1 X1 3 þ f 2 X2 3 þþf 20 X20
3
a 1 b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3 þþa N b N
f 1 X 1 Y 1 þ f 2 X 2 Y 2 þ f 3 X 3 Y 3 þ f 4 X 4 Y 4
SOLUCIÓN
a)
X 10
j¼1
X 2 j c)
X 20
j¼1
f j X 3 j e)
X 4
j¼1
f j X j Y j
b)
X 8
j¼1
ðX j þ Y j Þ d )
X N
j¼1
a j b j
3.3 Probar que P N
j¼1 ðaX j þ bY j
SOLUCIÓN
cZ j Þ¼a P N
j¼1 X j þ b P N
j¼1 Y j
c P N
j¼1 Z j, donde a, b y c son constantes.
X N
j¼1
ðaX j þ bY j cZ j Þ¼ðaX 1 þ bY 1 cZ 1 ÞþðaX 2 þ bY 2 cZ 2 ÞþþðaX N þ bY N cZ N Þ
¼ðaX 1 þ aX 2 þþaX N ÞþðbY 1 þ bY 2 þþbY N Þ ðcZ 1 þ cZ 2 þþcZ N Þ
¼ aðX 1 þ X 2 þþX N ÞþbðY 1 þ Y 2 þþY N Þ cðZ 1 þ Z 2 þþZ N Þ
¼ a XN
X j þ b XN
Y j
j¼1 j¼1
c XN
Z j
j¼1
o brevemente, P ðaX þ bY cZÞ ¼a P X þ b P Y c P Z.