Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

332 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
b) Si X ¼ 0, mostrar que la recta de mínimos cuadrados del inciso a) puede escribirse como
P XY
Y ¼ Y þ P X X
2
c) Dar la ecuación de la recta de mínimos cuadrados correspondiente a la del inciso a) en el caso en que Y
sea la variable independiente.
d ) Verificar que las rectas de los incisos a) y c) no son necesariamente iguales.
SOLUCIÓN
a) La ecuación (37) puede escribirse como y = a 1 x, donde x ¼ X X y y ¼ Y Y. Además, resolviendo simultáneamente
las ecuaciones normales (18) se tiene
a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼ N P ðx þ XÞðy þ YÞ ½ P ðx þ XŠ½ P ðy þ YÞŠ
N P ðx þ XÞ 2 ½ P ðx þ XÞŠ 2
¼ N P ðxy þ x Y þ Xy þ X YÞ ð P x þ N XÞð P y þ N YÞ
N P ðx 2 þ 2x X þ X 2 Þ ð P x þ N XÞ 2
¼ N P xy þ N Y P x þ N X P y þ N 2 X Y ð P x þ N XÞð P y þ N YÞ
N P x 2 þ 2N X P x þ N 2 X 2 ð P x þ N XÞ 2
Pero P x ¼ P ðX XÞ ¼0 y P y ¼ P ðY YÞ ¼0; por lo que la fórmula anterior se simplifica a
a 1 ¼ N P xy þ N 2 X Y N 2 P
X Y xy
N P x 2 þ N 2 X 2 N 2 X 2 ¼ P x
2
Lo que puede escribirse como
P P xy xðY
a 1 ¼ P x
2 ¼ P x
2
P
YÞ xY Y P x
¼ P ¼ x
2
P xY
P x
2
Por lo tanto, la recta de mínimos cuadrados es y = a 1 x; es decir,
P
P
xy
xY
y ¼ P x o bien y ¼ P x
x
2
x
2
b) Si X ¼ 0, x ¼ X X ¼ X. Entonces, de acuerdo con la fórmula
P xY
y ¼ P x
2
se tiene
P XY
y ¼ P X o bien Y ¼ Y þ
X
2
P XY
P X
2
X
Otro método
Las ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados Y = a 0 + a 1 X son
P Y ¼ a0 N þ a 1
P X y
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X
2
Si X ¼ð P XÞ=N ¼ 0, entonces P X ¼ 0 y las ecuaciones normales se transforman en
P Y ¼ a0 N
y
P XY ¼ a1
P X
2
de donde
a 0 ¼
P P Y
XY
N ¼ Y y a 1 ¼ P X
2
Por lo tanto, la ecuación buscada de la recta de mínimos cuadrados es
P XY
Y = a 0 + a 1 X o bien Y ¼ Y þ P X X
2