Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 369
se tiene
P ¼ r pPffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2 P x
2
P xy
P x
2 ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
¼ rs Y
s X
de donde resulta la fórmula buscada.
b) La fórmula buscada se obtiene intercambiando X y Y en el inciso a).
14.22 Si las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y son, respectivamente, Y = a 0 + a 1 X y X = b 0 + b 1 Y,
probar que a 1 b 1 = r 2 .
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.21, incisos a) y b),
Por lo tanto, a 1 b 1 ¼ rs Y
s X
a 1 ¼ rs Y
y b
s 1 ¼ rs X
X s Y
rsX
s Y
¼ r 2
Esta fórmula puede tomarse como el punto de partida para la definición del coeficiente de correlación lineal.
14.23 Emplear la fórmula obtenida en el problema 14.22 para hallar el coeficiente de correlación lineal correspondiente
a los datos del problema 14.1.
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.1 [incisos b) y c), respectivamente] a 1 = 484/1 016 = 0.476 y b 1 = 484/467 = 1.036. Por
lo tanto, Y 2 = a 1 b 1 = (384/1 016)(484/467) y r = 0.7027.
14.24 Dados los datos del problema 14.19, escribir las ecuaciones de las rectas de regresión de: a) Y sobre X y b) X
sobre Y.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla de correlación (tabla 14.16) del problema 14.19, se tiene
P
fX u
X ¼ A þ c X
X
N
P
fY u
Y ¼ B þ c Y
Y
N
¼ 64:5 þ ð10Þð64Þ
100
¼ 70:9
¼ 74:5 þ ð10Þð 55Þ ¼ 69:0
100
De acuerdo con los resultados del problema 14.20, s X = 13.966, s Y = 14.925 y r = 0.7686. Ahora, empleando el problema
14.21, incisos a) y b), se obtienen las ecuaciones de las rectas de regresión.
a) Y Y ¼ rs Y
ðX XÞ Y 69:0 ¼ ð0:7686Þð14:925Þ ðX
s X 13:966
70:9Þ ¼0:821ðX 70:9Þ
b) X X ¼ rs X
ðY YÞ X 70:9 ¼ ð0:7686Þð13:966Þ ðY
s Y 14:925
69:0Þ ¼0:719ðY 69:0Þ
14.25 Dados los datos del problema 14.19, calcular los errores estándar de estimación: a) s Y.X y b) s X.Y . Usar los resultados
del problema 14.20.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) s Y:X ¼ s Y 1 r 2 ¼ 14:925 1 ð0:7686Þ 2 ¼ 9:548
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b) s X:Y ¼ s X 1 r 2 ¼ 13:966 1 ð0:7686Þ 2 ¼ 8:934