Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

84 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
b) log G ¼ 1 N log ðX f 1
1 X f 2
2 X f K
K Þ¼ 1 N ð f 1 log X 1 þ f 2 log X 2 þþ f K log X K Þ
¼ 1 N
X K
j¼1
P f log X
f j log X j ¼
N
donde se supone que todos los números son positivos; de otra manera, los logaritmos no están definidos.
Obsérvese que el logaritmo de una media geométrica de un conjunto de números positivos es la media aritmética
de los logaritmos de los números.
c) Al hallar la media geométrica de datos agrupados, este resultado puede emplearse tomando X 1 , X 2 , . . . , X K como las
marcas de clase y f 1 , f 2 , . . . , f K como sus frecuencias correspondientes.
3.37 Durante un año la relación entre precios de un cuarto de galón de leche respecto a precios de una barra de pan
fue 3.00, en tanto que al año siguiente la relación fue 2.00.
a) Encontrar la media aritmética de esta relación en estos dos años.
b) Encontrar la media aritmética de las relaciones ahora entre los precios de una barra de pan respecto a los
precios de un cuarto de galón de leche en este periodo de 2 años.
c) Analizar la conveniencia de emplear la media aritmética para promediar relaciones.
d ) Analizar la idoneidad de la media geométrica para promediar relaciones.
SOLUCIÓN
a) Media de las relaciones (cocientes) precio de leche respecto a precios de pan = 1 2
(3.00 + 2.00) = 2.50.
b) Como el primer año la relación entre precios de leche respecto a precios de pan es 3.00, la relación entre precios de
pan respecto a precios de leche es 1/3 = 0.333. De igual manera, la relación entre precios de pan y precios de leche
el segundo año es 1/2.00 = 0.500.
Por lo tanto,
Media de las relaciones (cocientes) precio de pan respecto a precios de leche = 1 2
(0.333 + 0.500) = 0.417
c) Si la media fuera un promedio adecuado, se esperaría que la media de las relaciones de precios de leche respecto a
precios de pan fuera el recíproco de la media de las relaciones precios de pan respecto a precios de leche. Sin embargo,
1/0.417 = 2.40 2.50. Esto demuestra que la media no es un promedio adecuado para (cocientes) relaciones.
p
d ) La media geométrica de las relaciones entre precios de leche respecto a precios de pan ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
ð3:00Þð2:00Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6:00
p
La media geométrica de las relaciones entres precios de pan respecto a precios de leche ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
ð0:333Þð0:500Þ ¼
0:0167 ¼ 1=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6:00
Dado que estos promedios son recíprocos, se concluye que la media geométrica es más adecuada que la media aritmética
para promediar relaciones (cocientes).
3.38 La cuenta bacteriana en cierto medio de cultivo aumentó de 1 000 a 4 000 en 3 días. ¿Cuál es el incremento
porcentual promedio por día?
SOLUCIÓN
Como un incremento de 1 000 a 4 000 es un incremento de 300%, uno está inclinado a concluir que el aumento porcentual
promedio por día es 300%/3 = 100%. Sin embargo, esto significaría que el primer día la cuenta aumentó de 1 000 a 2 000,
el segundo día de 2 000 a 4 000 y el tercer día de 4 000 a 8 000, lo cual no es así.
Para determinar este incremento porcentual promedio se denotará r a este incremento porcentual promedio.
Entonces
Cuenta bacteriana total un día después = 1 000 + 1 000r = 1 000(1 + r)
Cuenta bacteriana total dos días después = 1 000(1 + r) + 1 000(1 + r)r = 1 000(1 + r) 2
Cuenta bacteriana total tres días después = 1 000(1 + r) 2 + 1 000(1 + r) 2 r = 1 000(1 + r) 3
p
Esta última expresión debe ser igual a 4 000. De manera que 1 000(1 + r) 3 = 4 000, (1 + r) 3 = 4, 1 + r = 3 ffiffi
p 4 , y
r = 3 ffiffi
4 − 1 = 1.587 − 1 = 0.587, y así, r = 58.7%.