Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 183
Nota: Los resultados de los incisos a) y b) son las esperanzas de X y de X 2 , que se denotan E(X) y E(X 2 ), respectivamente
(ver capítulo 6).
7.11 Si la variable está distribuida binomialmente, determinar: a) su media µ y b) su varianza σ 2 .
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 7.10a),
µ = esperanza de la variable ¼ XN
b) Empleando µ = Np y los resultados del problema 7.10,
2 ¼ XN
ðX
X¼0
Þ 2 pðXÞ ¼ XN
ðX 2
X¼0
2X þ 2 ÞpðXÞ ¼ XN
X¼0
X¼0
X 2 pðXÞ
XpðXÞ ¼Np
2 XN
X¼0
XpðXÞþ 2 XN
¼ NðN 1Þp 2 þ Np 2ðNpÞðNpÞþðNpÞ 2 ð1Þ ¼Np Np 2 ¼ Npð1 pÞ ¼Npq
p
Se sigue que la desviación estándar de una variable distribuida en forma binomial es ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Npq.
Otro método
De acuerdo con el problema 6.62b),
E½ðX XÞŠ 2 ¼ EðX 2 Þ ½EðXÞŠ 2 ¼ NðN 1Þp 2 þ Np N 2 p 2 ¼ Np Np 2 ¼ Npq
7.12 Si la probabilidad de que un tornillo esté defectuoso es 0.1, encontrar: a) la media y b) la desviación estándar
de la distribución de los tornillos defectuosos en un total de 400 tornillos.
SOLUCIÓN
a) La media es Np = 400(0.1) = 40; es decir, se puede esperar que haya 40 tornillos defectuosos.
pffiffiffiffiffi
b) La varianza es Npq = 400(0.1)(0.9) = 36. Por lo tanto, la desviación estándar es 36 ¼ 6.
7.13 Encontrar el coeficiente momento de: a) sesgo y b) curtosis, de la distribución del problema 7.12.
SOLUCIÓN
a) Coeficiente momento de sesgo ¼ p q ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p ¼
Npq
0:9 0:1
¼ 0:133
6
Como este coeficiente es positivo, la distribución es sesgada a la derecha.
b) Coeficiente momento de curtosis ¼ 3 þ 1 6pq
Npq ¼ 3 þ 1 6ð0:1Þð0:9Þ ¼ 3:01
36
Esta distribución es ligeramente leptocúrtica con respecto a la distribución normal (es decir, ligeramente más puntiaguda;
ver capítulo 5).
X¼0
pðXÞ
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
7.14 En un examen final de matemáticas la media fue 72 y la desviación estándar fue 15. Determinar las puntuaciones
estándar (es decir, las calificaciones en unidades de desviaciones estándar) de los estudiantes que obtuvieron:
a) 60, b) 93 y c) 72 puntos.
SOLUCIÓN
aÞ z ¼ X X
s
bÞ z ¼ X X
s
¼
¼
60 72
¼ 0:8 ðcÞ z ¼ X X
¼
15
s
93 72
¼ 1:4
15
72 72
¼ 0
15