Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 331
13.13 a) Muestre que las dos rectas de mínimos cuadrados obtenidas en el problema 13.11 se intersecan en el punto
ð X, YÞ.
b) Estimar el valor de Y para X = 12.
c) Estimar el valor de X para Y = 3.
SOLUCIÓN
P X
X ¼
N ¼ 56 P Y
8 ¼ 7 Y ¼
N ¼ 40 8 ¼ 5
Por lo tanto, el punto ð X, YÞ, llamado el centroide, es (7, 5).
a) El punto (7, 5) se encuentra en la recta Y = 0.545 + 0.636X; o, más exactamente, Y ¼ 6 11 þ 7
11
X , ya que
5 ¼ 6
11 þ 7
11 ð7Þ. El punto (7, 5) se encuentra en la recta X ¼ 1 2 þ 3 2 Y, ya que 7 ¼ 1 2 þ 3 2 ð5Þ.
Otro método
Las ecuaciones de las dos rectas son Y ¼ 6 11 þ 7
11 X y X ¼ 1 2 þ 3 2
Y. Resolviendo simultáneamente estas dos ecuaciones
se encuentra X = 7 y Y = 5. Por lo tanto, las rectas se intersecan en el punto (7, 5).
b) Sustituyendo X = 12 en la recta de regresión de Y (problema 13.11), Y = 0.545 + 0.636(12) = 8.2.
c) Sustituyendo Y = 3 en la recta de regresión de X (problema 13.11), X = −0.50 + 1.50(3) = 4.0.
13.14 Probar que una recta de mínimos cuadrados siempre pasa por el punto ð X, YÞ.
SOLUCIÓN
Caso 1 (X es la variable independiente)
La ecuación de la recta de mínimos cuadrados es
Y = a 0 + a 1 X (34)
Una de las ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados es
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X (35)
Dividiendo ambos lados de la ecuación (35) entre N se obtiene
Y ¼ a 0 þ a 1
X (36)
Restando la ecuación (36) de la ecuación (34), la recta de mínimos cuadrados se puede escribir como
Y Y ¼ a 1 ðX XÞ (37)
lo que muestra que la recta pasa a través del punto ð X, YÞ.
Caso 2 (Y es la variable independiente)
Procediendo como en el caso 1, pero intercambiando X y Y y sustituyendo las constantes a 0 y a 1 por b 0 y b 1 , respectivamente,
se encuentra que la recta de mínimos cuadrados puede escribirse como
X X ¼ b 1 ðY YÞ (38)
lo que indica que la recta pasa por el punto ð X, YÞ.
Obsérvese que las rectas (37) y (38) no coinciden, sino que se intersecan en ð X, YÞ.
13.15 a) Considerando X como la variable independiente, mostrar que la ecuación de la recta de mínimos cuadrados
se puede escribir como
P
P
xy
xY
y ¼ P x o bien y ¼ P x
x
2
x
2
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y.