Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 107
CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE DATOS AGRUPADOS
4.12 a) Demostrar que
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P X
2
2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
b) Usar la fórmula del inciso a) para hallar la desviación estándar del conjunto 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
SOLUCIÓN
a) Por definición
Entonces
o bien
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX XÞ 2
s ¼
N
P ðX XÞ 2 P ðX
s 2 2
2 XX þ X 2 P
Þ X
2
2 X P X þ N X 2
¼
¼
¼
N
N
N
P X
2
P P X
X
¼ 2 X
N N
þ X 2 2
P X
¼ 2 X 2 þ X 2 2
¼ X 2
N
N
P X
¼ X 2 ¼ X 2 2 P 2 X
− ¼
N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P X
2 X 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
Obsérvese que en las sumatorias anteriores se ha usado la forma abreviada, empleando X en lugar de X j y P en
lugar de P N
j¼1 .
Otro método
s 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ X 2 2X X þ X 2 ¼ X 2 2X X þ X 2 ¼ X 2 2 X X þ X 2 ¼ X 2 X 2
b)
P X
2
X 2 ¼
N ¼ ð12Þ2 þð6Þ 2 þð7Þ 2 þð3Þ 2 þð15Þ 2 þð10Þ 2 þð18Þ 2 þð5Þ 2
8
P X 12 þ 6 þ 7 þ 3 þ 15 þ 10 þ 18 þ 5
X ¼ ¼ ¼ 76
N 8
8 ¼ 9:5
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Por lo tanto s ¼ X 2 X 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
114 90:25 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23:75 ¼ 4:87
¼ 912
8 ¼ 114
Compárese este método con el del problema 4.9a).
4.13 Modificar la fórmula del problema 4.12a) para introducir las frecuencias que corresponden a los diversos
valores de X.
SOLUCIÓN
La modificación apropiada es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
Como en el problema 4.12a), a esta fórmula se puede llegar partiendo de
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðX XÞ 2
s ¼
N