Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

CURTOSIS 125
SESGO
El sesgo de una distribución es su grado de asimetría o el grado en el que se aleja de la simetría. Si una curva de frecuencias
(polígono de frecuencias suavizado) de una distribución tiene una cola más larga hacia la derecha del máximo
central que hacia la izquierda, se dice que la distribución es sesgada a la derecha, o que tiene un sesgo positivo. Si
ocurre lo contrario, se dice que es sesgada a la izquierda o que tiene un sesgo negativo.
En las distribuciones sesgadas, la media tiende a encontrarse del mismo lado que la cola más larga opuesto al de la
moda y que la cola más larga (ver figuras 3-1 y 3-2). Por lo tanto, una medida de la simetría (o sesgo) se obtiene
mediante la diferencia: media – moda. Esta medida se puede hacer adimensional dividiendo entre una medida de dispersión,
como la desviación estándar, lo que conduce a la definición:
media moda
Sesgo =
desviación estándar = X moda
(11)
s
Para evitar el uso de la moda se puede utilizar la fórmula empírica (10) del capítulo 3 y definir
Sesgo = 3(media mediana)
desviación estándar = 3(X mediana)
(12)
s
A las ecuaciones (11) y (12) se les llama, respectivamente, primer coeficiente de sesgo de Pearson y segundo coeficiente
de sesgo de Pearson.
Otras medidas del sesgo, que se definen en términos de cuartiles y percentiles, son las siguientes:
Coeficiente cuartil de sesgo = (Q 3 Q 2 Q 2 Q 1 )
= Q 3 2Q 2 Q 1
(13)
Q 3 Q 1 Q 3 Q 1
Coeficiente de sesgo percentil 10–90 = (P 90 P 50 P 50 P 10 )
= P 90 2P 50 + P 10
(14)
P 90 P 10 P 90 P 10
En una importante medida del sesgo se emplea el tercer momento respecto de la media, tal medida expresada en
forma adimensional viene dada por:
Coeficiente momento de sesgo ¼ a 3 ¼ m 3
s 3 ¼ m 3
p ffiffiffiffiffi
(
¼ p m3
ffiffiffiffiffiffi
)
3 3
(15)
Otra medida de sesgo suele darse mediante b 1 ¼ a 2 3. En las curvas perfectamente simétricas, por ejemplo en la curva
normal, a 3 y b 1 son cero.
CURTOSIS
La curtosis indica qué tan puntiaguda es una distribución; esto por lo regular es en relación con la distribución normal.
A una distribución que tiene un pico relativamente alto se le llama leptocúrtica, en tanto que si es relativamente aplastada
se dice platicúrtica. Una distribución normal, que no es ni puntiaguda ni muy aplastada se llama mesocúrtica.
En una medida de la curtosis se emplea el cuarto momento respecto de la media, expresada en forma adimensional,
esta medida se encuentra dada por:
m 2
Coeficiente momento de curtosis = a 4 = m 4
s 4 = m 4
m 2 2
el cual suele denotarse b 2 . En las distribuciones normales b 2 = a 4 = 3. A esto se debe que la curtosis suela definirse
mediante (b 2 − 3), que tiene signo positivo en una distribución leptocúrtica, negativo en una distribución platicúrtica
y cero en las distribuciones normales.
Otra medida de la curtosis se basa tanto en los cuartiles como en los percentiles y está dada por
=
m 2
(16)
Q
P 90 P 10
(17)
donde Q = 1 2 (Q 3 Q 1 ) es el rango semiintercuartil. A κ (letra griega minúscula kappa) se le conoce como coeficiente
percentil de curtosis; en las distribuciones normales, el valor de κ es 0.263.