Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 73
SOLUCIÓN
Sería $30 000 únicamente si la cantidad de trabajadores agrícolas y no agrícolas fuese la misma. Para determinar el verdadero
ingreso medio anual se necesita saber cuál es la cantidad relativa de trabajadores en cada grupo. Supóngase que 10%
de los trabajadores son trabajadores agrícolas. En ese caso la media será (0.10)(25 000) + (0.90)(35 000) = $34 000. Si la
cantidad de trabajadores de ambos tipos es la misma, la media será (0.50)(25 000) + (0.50)(35 000) = $30 000.
3.15 Usando la distribución de frecuencias de las estaturas que se presenta en la tabla 2.1, hallar la estatura media
de los 100 estudiantes de la universidad XYZ.
SOLUCIÓN
En la tabla 3.1 se presentan los datos organizados para hacer los cálculos. Obsérvese que como estatura de los estudiantes
que miden de 60 a 62 pulgadas (in), de 63 a 65 in, etc., se toman 61 in, 64 in, etc., respectivamente. Entonces, el problema
se reduce a encontrar la estatura media de 100 estudiantes si 5 tienen una estatura de 61 in, 18 tienen una estatura de 64 in,
etcétera.
Estos cálculos pueden resultar tediosos, en especial en los casos en que los números son grandes y se tienen muchas
clases. Existen técnicas abreviadas para reducir el trabajo; ver los problemas 3.20 y 3.22.
Tabla 3.1
Estatura (in) Marcas de clase (X ) Frecuencias ( f ) f X
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
5
18
42
27
8
305
1 152
2 814
1 890
584
P f X = 6 745
N = P f = 100
X ¼
P fX
P f
P fX
¼
N = 6 745 = 67.45 in
100
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
3.16 Probar que la suma de las desviaciones de X 1 , X 2 , . . . , X N respecto a su media X es igual a cero.
SOLUCIÓN
Sean d 1 ¼ X 1
X, d 2 ¼ X 2
X, ..., d N ¼ X N
X las desviaciones de X 1 , X 2 , . . . , X N de su media, X. Entonces
La suma de las desviaciones ¼ P d j ¼ P ðX j
XÞ ¼ P X j N X
¼ P P
Xj
X j N ¼ P P
X
N
j Xj ¼ 0
donde se usa P en vez de P N
j¼1 . Si se desea, también se puede omitir el subíndice j de X j siempre que éste se sobreentienda.
3.17 Si Z 1 ¼ X 1 þ Y 1 , Z 2 ¼ X 2 þ Y 2 ; ...; Z N ¼ X N þ Y N , probar que Z ¼ X þ Y.
SOLUCIÓN
Por definición
P X
X ¼
N
P Y
Y ¼
N
P Z
Z ¼
N