Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

358 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
SOLUCIÓN
71
70
69
68
Y
67
66
65
64
Variable
Y
regresión
inferior
superior
62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
X
Figura 14-3 De los datos, el 66% se encuentra a una distancia no mayor a S Y .X de la línea de regresión.
a) La recta de regresión Y = 35.82 + 0.476X, obtenida en el problema 14.1, es la recta que aparece marcada con los
rombos. Es la recta de enmedio de las tres rectas que aparecen en la figura 14-3; hay otras dos rectas que se encuentran
cada una a una distancia S Y .X = 1.28 de la recta de regresión. A estas rectas se les llama rectas inferior y superior.
b) En la figura 14-3, los datos aparecen como círculos en negro. Ocho de los 12 datos, es decir el 66.7%, se encuentran entre
las rectas inferior y superior. Dos datos se encuentran fuera de estas rectas y otros dos se hallan sobre estas rectas.
VARIACIÓN EXPLICADA Y VARIACIÓN NO EXPLICADA
14.7 Probar que P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 .
SOLUCIÓN
Elevando al cuadrado ambos lados de Y Y ¼ðY Y est ÞþðY est
YÞ y sumando después, se tiene
P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 þ 2 P ðY Y est ÞðY est
YÞ
La ecuación buscada se obtiene inmediatamente si se demuestra que la última suma es cero; en el caso de la regresión lineal,
esto es así debido a que
P ðY Yest ÞðY est
YÞ ¼ P ðY a 0 a 1 XÞða 0 þ a 1 X YÞ
¼ a 0
P ðY a0 a 1 XÞþa 1
P XðY a0 a 1 XÞ Y P ðY a 0 a 1 XÞ¼0
y por las ecuaciones normales, P ðY a 0 a 1 XÞ¼0 y P XðY a 0 a 1 XÞ¼0.
De igual manera, empleando la curva de mínimos cuadrados dada por Y est ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þþa n X n , puede
mostrarse que este resultado también es válido para la regresión no lineal.
14.8 Dados los datos del problema 14.1, calcular: a) la variación total, b) la variación no explicada y c) la variación
explicada.
SOLUCIÓN
P
La recta de regresión por mínimos cuadrados es Y est = 35.8 + 0.476X. En la tabla 14.6 se ve que la variación total
¼ P ðY YÞ 2 = 38.917, la variación no explicada ¼ P ð Þ
ðY Y est Þ 2 = 19.703 y la variación explicada ¼ P ðY est
YÞ 2
= 19.214.