Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 357
14.4 Si x ¼ X X y y ¼ Y Y, mostrar que la ecuación del problema 14.3 puede expresarse
P y
s 2 2
Y:X ¼
a 1
P xy
N
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.3, si X ¼ x þ X y Y ¼ y þ Y, se tiene
Ns 2 Y:X ¼ P Y 2 P P P
a 0 Y a1 XY ¼ ðy þ YÞ 2 P P
a 0 ðy þ YÞ a 1 ðx þ XÞðy þ YÞ
¼ P ðy 2 þ 2y Y þ Y 2 Þ a 0 ð P P
y þ N YÞ a 1 ðxy þ Xy þ x Y þ X YÞ
¼ P y 2 þ 2 Y P y þ N Y 2 P
a 0 N Y a 1 xy a1 X P y a 1
Y P x a 1 N X Y
¼ P y 2 þ N Y 2 P
a 0 N Y a 1 xy a1 N X Y
¼ P y 2 P
a 1 xy þ N Yð Y a 0 a 1
XÞ
¼ P y 2
a 1
P xy
donde se han empleado los resultados P x ¼ 0, P y ¼ 0 y Y ¼ a 0 þ a 1
X (que se obtienen al dividir entre N ambos lados
de la ecuación normal P Y ¼ a 0 N þ a 1
P X por N).
14.5 Dados los datos del problema 14.1, calcular el error estándar de estimación s Y.X empleando: a) la definición y
b) la ecuación obtenida en el problema 14.4.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 14.1b), la recta de regresión de Y sobre X es Y = 35.82 + 0.476X. En la tabla 14.5 se dan
los valores reales de Y (tomados de la tabla 14.1) y los valores estimados de Y, que se denotan Y est , obtenidos empleando
la recta de regresión; por ejemplo, para X = 65 se tiene Y est = 35.82 + 0.476(65) = 66.76. También se dan los
valores Y − Y est , que se necesitan para calcular s Y.X :
P ðY
s 2 Yest Þ
Y:X ¼
¼ ð1:24Þ2 þð0:19Þ 2 þþð0:38Þ 2
¼ 1:642
N
12
p
y s Y:X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1:1642 ¼ 1:28 in.
b) De acuerdo con los problemas 14.1, 14.2 y 14.4
P y
s 2 2
Y:X ¼
p
y s Y:X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1:643 ¼ 1:28 in.
a 1
P xy
N
¼ 38:92
0:476ð40:34Þ ¼ 1:643
12
Tabla 14.5
X 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71
Y 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70
Y est 66.76 65.81 67.71 66.28 68.19 65.33 69.14 67.24 68.19 67.71 68.66 69.62
Y − Y est 1.24 0.19 0.29 −1.28 0.81 0.67 −1.14 −2.24 2.81 −0.71 −0.66 0.38
14.6 a) Construir dos rectas que sean paralelas a la recta de regresión del problema 14.1 y que se encuentren a una
distancia vertical s Y .X de ella.
b) Determinar el porcentaje de los datos que caen entre estas dos líneas.