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396 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
Figura 15-4 STATISTIX, cuadro de diálogo para el problema 15.17.
STATISTIX puede emplearse de manera similar para hallar las otras dos correlaciones parciales buscadas.
15.18 Si X 1 = b 1.23 + b 12.3 X 2 + b 13.2 X 3 y X 3 = b 3.12 + b 32.1 X 2 + b 31.2 X 1 son las ecuaciones de regresión de X 1 sobre
X 2 y X 3 , y de X 3 sobre X 2 y X 1 , respectivamente, probar que r 2 13:2 ¼ b 13:2 b 31:2 .
SOLUCIÓN
La ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse como [ver ecuación (5) de este capítulo]
X 1 ¼ X 1 ¼ r
12 r 13 r 23 s1
1 r 2 ðX
23
s 2
X 2 Þþ r
13 r 12 r 23 s1
2
1 r 2 ðX
23
s 3
X 3 Þ (31)
3
La ecuación de regresión de X 3 sobre X 2 y X 1 puede expresarse como [ver ecuación (10)]
X 3
X 3 ¼ r
23 r 13 r 12 s3
1 r 2 ðX
12
s 2
X 2 Þþ r
13 r 23 r 12 s3
2
1 r 2 ðX
12
s 1
X 1 Þ (32)
1
De acuerdo con las ecuaciones (31) y (32), los coeficientes de X 3 y X 1 son, respectivamente,
b 13:2 ¼ r
13 r 12 r 23 s1
1 r 2 y b
23
s 31:2 ¼ r
13 r 23 r 12 s3
3
1 r 2 12
s 1
Por lo tanto b 13:2 b 31:2 ¼ ðr 13 r 12 r 23 Þ 2
ð1 r 2 23 Þð1 r2 12 Þ ¼ r2 13:2
15.19 Si r 12.3 = 0, probar que
SOLUCIÓN
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r
a) 2 23
r 13:2 ¼ r 13
1 r 2 12
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r 2 13
b) r 23:1 ¼ r 23
1 r 2 12
Si
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
¼ 0
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ