Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

254 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
SOLUCIÓN
Si p es la probabilidad de que la persona elija correctamente el color de la carta, entonces hay que decidir entre las dos
hipótesis:
H 0 : p = 0.5, el individuo simplemente está adivinando (es decir, el resultado se debe a la casualidad).
H 1 : p > 0.5, la persona tiene PES.
Como lo que interesa no es la habilidad de la persona para obtener puntuaciones extremadamente bajas, sino sólo su
habilidad para obtener puntuaciones altas, se elige una prueba de una cola. Si la hipótesis H 0 es verdadera, entonces la media
y la desviación estándar de la cantidad de cartas identificadas correctamente están dadas por
p
µ = Np = 50(0.5) = 25 y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
50ð0:5Þð0:5Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12:5 ¼ 3:54
a) Como se trata de una prueba de una cola con nivel de significancia 0.05, en la figura 10-4 se debe elegir z de manera
que el área sombreada, en la región crítica de puntuaciones altas, sea 0.05. El área entre 0 y z será 0.4500 y z = 1.645;
este valor también se puede leer en la tabla 10.1. Por lo tanto, la regla de decisión (o prueba de significancia) es:
Si la puntuación z observada es mayor a 1.645, los resultados son significativos al nivel 0.05 y la persona tiene
poderes extrasensoriales.
Si la puntuación z es menor a 1.645, los resultados se deben a la casualidad (es decir, no son significativos al
nivel 0.05).
Como 32 en unidades estándar (32 − 25)/3.54 = 1.98, lo cual es mayor a 1.645, se concluye, al nivel 0.05, que
la persona tiene poderes extrasensoriales.
Obsérvese que en realidad debe aplicarse la corrección por continuidad, ya que 32 en una escala continua está
entre 31.5 y 32.5. Sin embargo, la puntuación estándar correspondiente a 31.5 es (31.5 − 25)/3.54 = 1.84, con lo que
se llega a la misma conclusión.
b) Si el nivel de significancia es 0.01, entonces el área entre 0 y z es 0.4900, de donde se concluye que z = 2.33.
Como 32 (o 31.5) en unidades estándar es 1.98 (o 1.84), que es menor a 2.33, se concluye que los resultados no son
significativos al nivel 0.01.
Algunos especialistas en estadística adoptan la siguiente terminología: resultados significativos al nivel 0.01 son
altamente significativos; resultados significativos al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01, son probablemente significativos, y
resultados significativos a niveles mayores a 0.05 no son significativos. De acuerdo con esta terminología se concluye que
los resultados experimentales anteriores son probablemente significativos, de manera que será necesario hacer más investigaciones
acerca del fenómeno.
Como los niveles de significancia sirven de guía en la toma de decisiones, algunos especialistas en estadística dan
las probabilidades empleadas. Por ejemplo, como en este problema, Pr{z ≥ 1.84} = 0.0322, un especialista en estadística
dirá que con base en el experimento, las posibilidades de estar equivocado al concluir que la persona tiene poderes extrasensoriales
son aproximadamente 3 en 100. A la probabilidad que se da (0.0322 en este caso) se le conoce como valor p de
la prueba.
10.6 Se asegura que 40% de las personas que hacen sus declaraciones de impuestos, las hacen empleando algún
software para impuestos. En una muestra de 50 personas, 14 emplearon software para hacer su declaración de
impuestos. Probar H 0 : p = 0.4 versus H a : p < 0.4 a α = 0.05, donde p es la proporción poblacional de los que
emplean software para hacer su declaración de impuestos. Haga la prueba empleando la distribución binomial
y también empleando la aproximación normal a la distribución binomial.
SOLUCIÓN
Si se emplea la prueba exacta H 0 : p = 0.4 versus H a : p < 0.4 a α = 0.05, la hipótesis nula se rechaza si X ≤ 15. A esta región
se le llama la región de rechazo. Si se emplea la prueba basada en la aproximación normal a la binomial, la hipótesis nula
se rechaza si Z < −1.645 y a esta región se le llama la región de rechazo. A X = 14 se le llama estadístico de prueba. El
estadístico de prueba binomial está en la región de rechazo y la hipótesis nula se rechaza. Usando la aproximación normal,
14 20
el estadístico de prueba es z ¼
3:46
¼ 1:73. El verdadero valor de α es 0.054 y la región de rechazo es X ≤ 15 y se emplea
la probabilidad binomial acumulada P(X ≤ 15). Empleando la aproximación normal también se rechazará la hipótesis nula,
ya que z = −1.73 está en la región de rechazo que es Z < −1.645. Obsérvese que si se usa la distribución binomial para
realizar la prueba, el estadístico de prueba tiene una distribución binomial. Si se emplea la distribución normal, el estadístico
de prueba, Z, tiene una distribución normal estándar.