Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

108 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Entonces
o bien
P f ðX XÞ 2 P f ðX
s 2 2
2 XX þ X 2 P
Þ fX
2
2 X P fX þ X 2 P f
¼
¼
¼
N
N
N
P fX
2
P P fX
fX
¼ 2 X
N N
þ X 2 2
P fX
¼ 2 X 2 þ X 2 2
¼ X 2
N
N
P fX
2
P fX 2
¼
N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
s ¼
N N
Obsérvese que la sumatoria anterior se ha usado en forma abreviada, empleando X y f en lugar de X j y f j , P en lugar
de P K
j¼1 y P K
j¼1 f j = N.
4.14 Empleando la fórmula del problema 4.13, encontrar la desviación estándar de los datos de la tabla 4.2, problema
4.11.
SOLUCIÓN
Los cálculos pueden organizarse como en la tabla 4.3, donde X ¼ð P fXÞ=N ¼ 67:45 in, según se obtuvo en el problema
3.15. Observar que este método, como el del problema 4.11, conlleva cálculos muy tediosos. En el problema 4.17 se muestra
cómo con el método de compilación se simplifican los cálculos enormemente.
Tabla 4.3
Estaturas (in) Marcas de clase (X ) X 2 Frecuencias ( f ) f X 2
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
3 721
4 096
4 489
4 900
5 329
5
18
42
27
8
18 605
73 728
188 538
132 300
42 632
N ¼ P f ¼ 100
P f X 2 = 455 803
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
455; 803
p
s ¼
¼
ð67:45Þ 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:5275 ¼ 2:92 in
N N
100
4.15 Si d = X − A son las desviaciones de X respecto a una constante arbitraria A, probar que
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fd
2
2 fd
s ¼
N N
SOLUCIÓN
Como d = X − A, X = A + d y X ¼ A þ d (ver problema 3.18), entonces
de manera que
X X ¼ðA þ dÞ ðA þ dÞ¼d d
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðX XÞ 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
f ðd dÞ 2 P fd
2 P fd 2
s ¼
¼
¼
N
N
N N
de acuerdo con los resultados del problema 4.13 y sustituyendo X y X en lugar de d y d , respectivamente.