Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

384 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
Mediante una obvia generalización de la ecuación (8) del capítulo 14 se define el error estándar de estimación de X 1
sobre X 2 y X 3 como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX1 X 1,estÞ 2
s 1:23 ¼
N
(6)
donde X 1,est indica los valores estimados de X 1 obtenidos con las ecuaciones de regresión (1) o (5).
El error estándar de estimación también se puede calcular en términos de los coeficientes de correlación r 12 , r 13 y
r 23 , empleando la fórmula
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r 2 12
r 2 13
r 2 23
s 1:23 ¼ s þ 2r 12r 13 r 23
1
1 r 2 23
La interpretación muestral del error estándar de estimación para dos variables, dada en la página 313 para el caso
en el que N es grande, puede extenderse a tres dimensiones reemplazando p las rectas paralelas a la recta de regresión
por planos paralelos al plano de regresión. La fórmula ^s 1:23 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N=ðN 3Þs 1:23 proporciona una mejor estimación
del error estándar de estimación poblacional.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE
El coeficiente de correlación múltiple se define mediante una extensión de la ecuación (12) o (14) del capítulo 14. En
el caso de dos variables independientes, por ejemplo, el coeficiente de correlación múltiple está dado por
(7)
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s 2 1:23
R 1:23 ¼ 1
s 2 1
(8)
donde s 1 es la desviación estándar de la variable X 1 , y s 1.23 está dado por la ecuación (6) o por la ecuación (7). La
cantidad R 2 1:23 se conoce como coeficiente de determinación múltiple.
Cuando se emplea una ecuación de regresión lineal, al coeficiente de correlación múltiple se le llama coeficiente
de correlación lineal múltiple. A menos que se especifique otra cosa, el término correlación múltiple se empleará para
correlación lineal múltiple.
La ecuación (8) también puede expresarse en términos de r 12 , r 13 y r 23 como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 1:23 ¼
þ r2 13
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
(9)
El valor de un coeficiente de correlación múltiple, como R 1.23 , está entre 0 y 1, inclusive. Cuanto más cerca está de
1, mejor es la relación lineal entre las variables. Cuanto más cerca esté de 0, peor será la relación lineal entre las variables.
Si un coeficiente de correlación múltiple es 1, a esa correlación se le llama correlación perfecta. Aunque un
coeficiente de correlación sea 0, esto indica que no hay relación lineal entre las variables, pero puede que exista una
relación no lineal.
CAMBIO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE
Los resultados anteriores son válidos cuando X 1 se considera la variable dependiente. Pero si en lugar de X 1 quiere
considerarse a X 3 (por ejemplo) como la variable dependiente, lo único que hay que hacer es sustituir, en las fórmulas