Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

374 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
14.33 En una muestra de tamaño 24, el coeficiente de correlación encontrado es r = 0.75. Al nivel de significancia
0.05, ¿se puede rechazar la hipótesis de que el coeficiente de correlación poblacional sea tan pequeño como:
a) ρ = 0.60 y b) ρ = 0.50?
SOLUCIÓN
a) Z ¼ 1:1513 log 1 þ 0:75
1 0:75
y
Por lo tanto, z ¼ Z Z
Z
¼
¼ 0:9730 Z ¼ 1:1513 log 1 þ 0:60
¼ 0:6932
1 0:60
1
Z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ p 1 ffiffiffiffiffi ¼ 0:2182
N 3 21
0:9730 0:6932
¼ 1:28
0:2182
Empleando la distribución normal para una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05, la hipótesis sólo se podrá
rechazar si z es mayor que 1.64. Por lo tanto, en este caso no se puede rechazar la hipótesis de que el coeficiente de
correlación poblacional sea tan pequeño como 0.60.
b) Si ρ = 0.50, entonces µ Z = 1.1513 log 3 = 0.5493 y z = (0.9730 − 0.5493)/0.2182 = 1.94. Por lo tanto, la hipótesis
de que el coeficiente de correlación poblacional sea tan pequeño como ρ = 0.50 al nivel 0.05 puede rechazarse.
14.34 Se calcula que el coeficiente de correlación entre las calificaciones finales en física y matemáticas de un grupo
de 21 estudiantes es 0.80. Encontrar límites de confianza de 95% para este coeficiente.
SOLUCIÓN
Como r = 0.80 y N = 21, los límites de confianza del 95% para µ z están dados por
Z 1:96 Z ¼ 1:1513 log
1 þ r
1
1:96 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:0986 0:4620
1 r
N 3
Por lo tanto, µ Z tiene el intervalo de confianza de 95% siguiente: 0.5366 a 1.5606. Ahora, si
Z ¼ 1:1513 log
1 þ
¼ 0:5366
1
entonces ρ = 0.4904
y si
Z ¼ 1:1513 log 1 þ
¼ 1:5606
1
entonces ρ = 0.9155
Por lo tanto, los límites de confianza de 95% para ρ son 0.49 y 0.92.
14.35 A partir de dos muestras de tamaño N 1 = 28 y N 2 = 35 se obtuvieron los coeficientes de correlación r 1 = 0.50
y r 2 = 0.30, respectivamente. Al nivel de significancia 0.05, ¿existe una diferencia significativa entre estos dos
coeficientes?
SOLUCIÓN
Z 1 ¼ 1:1513 log 1 þ r
1
¼ 0:5493 Z
1 r 2 ¼ 1:1513 log 1 þ r
2
¼ 0:3095
1
1 r 2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
y Z1 Z 2
¼
N 1 3 þ 1 ¼ 0:2669
N 2 3
Se debe decidir entre las hipótesis H 0 : µ Z1
= µ Z2
y H 1 : µ Z1
µ Z2
. Bajo la hipótesis H 0 ,
z ¼ Z 1 Z 2 ð Z1 Z2 Þ
Z1 Z 2
¼
0:5493 0:3095 0
¼ 0:8985
0:2669
Empleando la distribución normal para una prueba de dos colas, H 0 se rechazará sólo si z > 1.96 o z < −1.96. Por lo tanto,
no se puede rechazar H 0 , y se concluye que al nivel de significancia 0.05 los resultados no son notablemente diferentes.