Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 235
Otro método
pffiffiffiffi
ð1:96Þð0:05Þ
N
pffiffiffiffi
0:01 si
N
ð1:96Þð0:05Þ 1
pffiffiffiffi
ð1:96Þð0:05Þ
o bien N ¼ 9:8
0:01
0:01
Entonces N ≥ 96.04, o bien N ≥ 97.
p
b) Los límites de confianza del 99% son X 2:58= ffiffiffiffi
pffiffiffiffi
N . Entonces (2.58)(0.05)/ N ¼ 0:01 o bien N = 166.4. De
manera que se puede tener una confianza de 99% de que el error de estimación será menor a 0.01 s sólo si N es 167
o mayor.
9.9 De un total de 200 calificaciones de matemáticas se tomó una muestra aleatoria de 50 calificaciones en la que
la media encontrada fue 75 y la desviación estándar, 10.
a) ¿Cuáles son los límites de confianza de 95% para la estimación de la media de las 200 calificaciones?
b) ¿Con qué grado de confianza se puede decir que la media de las 200 calificaciones es 75 ± 1?
SOLUCIÓN
a) Como el tamaño de la población no es muy grande en comparación con el tamaño de la muestra, hay que hacer un
ajuste. Entonces, los límites de confianza de 95% son
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X 1:96 X ¼ X 1:96 p
N p N
ffiffiffiffi ¼ 75 1:96 10 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
200 50
pffiffiffiffiffi
¼ 75 2:4
N N p 1
50 200 1
b) Los límites de confianza están representados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N p N
10 200 50
X z c X ¼ X z c p ffiffiffiffi ¼ 75 z
N N p 1
c p ffiffiffiffiffi
¼ 75 1:23z
50 200 1
c
Como esto debe ser igual a 75 ± 1, se tiene 1.23z c = 1, o bien z c = 0.81. El área bajo la curva normal desde z = 0
hasta z = 0.81 es 0.2910; por lo tanto, el grado de confianza buscado es 2(0.2910) = 0.582 o bien 58.2%.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
9.10 Un sondeo realizado con 100 votantes tomados en forma aleatoria de la población de todos los votantes de
determinado distrito indica que de éstos, 55% están a favor de cierto candidato. Encontrar límites de confianza
de: a) 95%, b) 99% y c) 99.73% para la proporción de todos los votantes a favor de este candidato.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) Los plímites ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi de confianza de 95% para la p poblacional son P 1:96 P ¼ P 1:96 pð1 pÞ=N ¼ 0:55
1:96 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:10, donde se ha usado la proporción muestral P para estimar p.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b) Los límites de confianza de 99% para p son 0:55 2:58 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:13.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c) Los límites de confianza de 99.73% para p son 0:55 3 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:15.
9.11 ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra de votantes del problema 9.19 para tener una confianza de: a) 95%
y b) 99.73% de que el candidato será electo?
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Los límites de confianza para p son P z c pð1 pÞ=N ¼ 0:55 z c ð0:55Þð0:45Þ=N ¼ 0:55 0:50z c =
ffiffiffiffi
N , donde, de
acuerdo con el problema 9.10, se ha usado la estimación pP = p = 0.55. Dado que el candidato gana sólo si tiene más del
50% de la población de votantes, se requiere que 0:50z c = ffiffiffiffi
N sea menor a 0.05.