Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

130 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
5.2 Dado el conjunto de números del problema 5.1, encontrar: a) el primero, b) el segundo, c) el tercero y d ) el
cuarto momentos respecto de la media.
SOLUCIÓN
P ðX
a) m 1 ¼ðX XÞ ¼
N
XÞ
¼
ð2 6Þþð3 6Þþð7 6Þþð8 6Þþð10 6Þ
5
¼ 0 5 ¼ 0
m 1 siempre es igual a cero debido a que X X ¼ X X ¼ 0 (ver problema 3.16).
P
b) m 2 ¼ðX XÞ 2 ðX XÞ 2
¼
¼ ð2 6Þ2 þð3 6Þ 2 þð7 6Þ 2 þð8 6Þ 2 þð10 6Þ 2
N
6
Obsérvese que m 2 es la varianza s 2 .
c) m 3 ¼ðX
P ðX XÞ
XÞ 3 ¼
¼ ð2 6Þ3 þð3 6Þ 3 þð7 6Þ 3 þð8
N
5
6Þ 3 þð10 6Þ 3
d ) m 4 ¼ðX
P ðX XÞ
XÞ 4 ¼
¼ ð2 6Þ4 þð3 6Þ 4 þð7 6Þ 4 þð8
N
5
6Þ 4 þð10 6Þ 4
¼ 46
5 ¼ 9:2
¼ 18
5 ¼ 3:6
¼ 610
5 ¼ 122
5.3 Para el conjunto de números del problema 5.1, encontrar: a) el primero, b) el segundo, c) el tercero y d ) el
cuarto momentos respecto del origen.
SOLUCIÓN
P ðX
a) m1 0 ¼ðX 4Þ ¼
N
4Þ
¼
ð2 4Þþð3 4Þþð7 4Þþð8 4Þþð10 4Þ
¼ 2
5
b) m2 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 2 ¼
N
4Þ
2
c) m3 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 3 ¼
N
4Þ
3
d ) m4 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 4 ¼
N
4Þ
4
¼ ð2 4Þ2 þð3 4Þ 2 þð7 4Þ 2 þð8 4Þ 2 þð10 4Þ 2
5
¼ ð2 4Þ3 þð3 4Þ 3 þð7 4Þ 3 þð8 4Þ 3 þð10 4Þ 3
5
¼ ð2 4Þ4 þð3 4Þ 4 þð7 4Þ 4 þð8 4Þ 4 þð10 4Þ 4
5
¼ 66 5 ¼ 13:2
¼ 298
5 ¼ 59:6
¼ 1 650 = 330
5
5.4 Empleando los resultados de los problemas 5.2 y 5.3, verificar las siguientes relaciones entre los momentos:
a) m 2 ¼ m 0 2 m 1 02 , b) m 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1 03 y c) m 4 ¼ m 0 4 4m 0 1m 0 3 þ 6m 1 02 m 0 2 3m 1 04 .
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 5.3 se tiene m1 0 ¼ 2, m2 0 ¼ 13:2, m3 0 ¼ 59:6 y m4 0 ¼ 330. Por lo tanto:
a) m 2 ¼ m2 0 m 02 1 ¼ 13:2 ð2Þ 2 ¼ 13:2 4 ¼ 9:2
b) m 3 ¼ m3 0 3m1m 0 2 0 þ 2m 03 1 ¼ 59:6 ð3Þð2Þð13:2Þþ2ð2Þ 3 ¼ 59:6 79:2 þ 16 ¼ 3:6
c) m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 3m 04 1 ¼ 330 4ð2Þð59:6Þþ6ð2Þ 2 ð13:2Þ 3ð2Þ 4 ¼ 122
lo que coincide con el problema 5.2.
5.5 Probar que: a) m 2 ¼ m2 0 m 02 1 , b) m 3 ¼ m3 0 3m1m 0 2 0 03
þ 2m 1 y c) m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 3m 04 1 .
SOLUCIÓN
Si d = X – A, entonces X ¼ A þ d, X ¼ A þ d y X X ¼ d d , y por lo tanto:
a) m 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ðd dÞ 2 ¼ d 2 2dd þ d 2
¼ d 2 2d 2 þ d 2 ¼ d 2 d 2 ¼ m2 0 02
m 1