Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

6 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
EJEMPLO 26 X ≥ 10 se lee “X es mayor o igual a 10”.
EJEMPLO 27 4 < Y ≤ 6 se lee “4 es menor que Y y Y es menor o igual a 6” o “Y está entre 4 y 6, excluyendo al 4 e incluyendo
al 6” o “Y es mayor que 4 y menor o igual a 6”.
A las relaciones en las que intervienen signos de desigualdad se les llana desigualdades. Así como se habla de
miembros de una ecuación, también se habla de miembros de una desigualdad. Por lo tanto, en la desigualdad 4 < Y
≤ 6, los miembros son 4, Y y 6.
Una desigualdad válida sigue siendo válida si:
1. A cada miembro de la desigualdad se le suma o se le resta un mismo número.
EJEMPLO 28 Como 15 > 12, 15 + 3 > 12 + 3 (es decir, 18 > 15) y 15 − 3 > 12 − 3 (es decir, 12 > 9).
2. Cada miembro de la desigualdad se multiplica por un mismo número positivo o se divide entre un mismo número
positivo.
EJEMPLO 29 Como 15 > 12, (15)(3) > (12)(3) (es decir, 45 > 36) y 15/3 > 12/3 (es decir, 5 > 4).
3. Cada miembro se multiplica o se divide por un mismo número negativo, lo que indica que los símbolos de la desigualdad
son invertidos.
EJEMPLO 30 Como 15 > 12, (15)(−3) < (12)(−3) (es decir, −45 < −36) y 15/(−3) < 12/(−3) (es decir, −5 < −4).
LOGARITMOS
Si x > 0, b > 0 y b 1, y = log b x si y sólo si log b y = x. Un logaritmo es un exponente. Es la potencia a la que hay
que elevar la base b para obtener el número del que se busca el logaritmo. Las dos bases más utilizadas son el 10 y la
e, que es igual a 2.71828182. . . A los logaritmos base 10 se les llama logaritmos comunes y se escriben log 10 x o simplemente
log(x). A los logaritmos base e se les llama logaritmos naturales y se escriben ln(x).
EJEMPLO 31 Encuentre los siguientes logaritmos y después encuéntrelos usando EXCEL: log 2 8, log 5 25 y log 10 1 000. La
potencia a la que hay que elevar al 2 para obtener 8 es tres, así log 2 8 = 3. La potencia a la que hay que elevar al 5 para obtener 25
es dos, así log 5 25 = 2. La potencia a la que hay que elevar al 10 para obtener 1 000 es tres, así log 10 1 000 = 3. EXCEL tiene tres
funciones para calcular logaritmos. La función LN calcula logaritmos naturales, la función LOG10 calcula logaritmos comunes y
la función LOG(x,b) calcula el logaritmo de x base b. =LOG(8,2) da 3, =LOG(25,5) da 2, =LOG10(1 000) da 3.
EJEMPLO 32 Calcule los logaritmos naturales de los números del 1 al 5 usando EXCEL. Los números 1 a 5 se ingresan en las
celdas B1:F1 y en la celda B2 se ingresa la expresión =LN(B1), se hace clic y se arrastra desde B2 hasta F2. EXCEL proporciona
el siguiente resultado.
X 1 2 3 4 5
LN(x) 0 0.693147 1.098612 1.386294 1.609438
EJEMPLO 33 Muestre que las respuestas del ejemplo 32 son correctas mostrando que e ln(x) da el valor x. Los logaritmos se
ingresan en B1:F1 y la expresión e ln(x) , que está representada por =EXP(B1) se ingresa en B2, se hace clic y se arrastra de B2 a F2.
EXCEL da los resultados siguientes. Los números en D2 y E2 difieren de 3 y 4 debido a error de redondeo.
LN(x) 0 0.693147 1.098612 1.386294 1.609438
xEXP(LN(x)) 1 2 2.999999 3.999999 5
El ejemplo 33 ilustra que si se tiene el logaritmo de un número (log b (x)) se puede volver a obtener el número x usando la relación
b log b(x)
= x.