Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 367
14.18 Mostrar cómo modificar la fórmula del problema 14.15 en el caso de datos agrupados, como en la tabla de
frecuencias bivariada (tabla 14.13).
SOLUCIÓN
En el caso de datos agrupados se puede considerar que los valores de las variables X y Y coinciden con las marcas de clase
y que f X y f Y son las correspondientes frecuencias de clase, o frecuencias marginales, que se muestran en el último renglón
y en la última columna de la tabla de frecuencias bivariada. Si f representa las diversas frecuencias de celda que corresponden
a los pares de marcas de clase (X, Y), entonces la fórmula del problema 14.15 puede reemplazarse por la fórmula
N P fXY ð P f
r ¼
X XÞð P f Y YÞ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X X 2 ð P f X XÞ 2 Š½N P f Y Y 2 ð P (35)
f Y YÞ 2 Š
Si X = A + c x u x y Y = B + c Y u Y , donde c X y c Y son las amplitudes de los intervalos de clase (que se suponen constantes)
y A y B son dos marcas de clase cualesquiera que corresponden a estas variables, la fórmula (35) se convierte en la
fórmula (21) de este capítulo:
N P fu
r ¼
X u Y ð P f X u X Þð P f Y u Y Þ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X u 2 X ð P f X u X Þ 2 Š½N P f Y u 2 Y ð P (21)
f Y u Y Þ 2 Š
Éste es el método de codificación empleado en capítulos anteriores como método abreviado para el cálculo de medias,
desviaciones estándar y momentos superiores.
14.19 Encontrar el coeficiente de correlación lineal correspondiente a las calificaciones de matemáticas y de física
del problema 14.17.
SOLUCIÓN
Se usará la fórmula (21). Para facilitar los cálculos se elabora la tabla 14.16, a la que se le llama tabla de correlación. Las
sumas P f X , P f X u X , P f X u 2 X, P f Y , P f Y u Y y P f Y u 2 Y se obtienen empleando el método de codificación, como en
capítulos anteriores.
En la tabla 14.16, el número que aparece en la esquina de cada celda representa el producto fu X u Y , donde f es la
frecuencia de celda. La suma de estos números de las esquinas en cada renglón se indica en el renglón correspondiente de
la última columna. La suma de estos números de las esquinas en cada columna se indica en la columna correspondiente del
último renglón. Los totales finales del último renglón y de la última columna son iguales y representan P fu X u Y .
De acuerdo con la tabla 14.16, se tiene
N P fu
r ¼
X u Y ð P f X u X Þð P f Y u Y Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X u 2 X ð P f X u X Þ 2 Š½N P f Y u 2 Y ð P f Y u Y Þ 2 Š
ð100Þð125Þ ð64Þð 55Þ
16,020
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:7686
½ð100ð236Þ [(100)(236) − ð64Þ (64) 2 Š½ð100Þð253Þ ][(100)(253) − ð(−55) 55Þ 2 Š]
ð19,504Þð22,275Þ
14.20 Empleando la tabla 14.16 calcular: a) s X , b) s Y y c) s X Y y verificar la fórmula r = s X Y /(s X s Y ).
SOLUCIÓN
ON sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fX u 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X fX u 2
a) s X ¼ c X 236 64 2
X
¼ 10
¼ 13:966
N N
100 100
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fY u 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Y fY u 2
b) s Y ¼ c Y 253 55 2
Y ¼ 10
¼ 14:925
N N
100 100
P P P
fuX u
c) s XY ¼ c X c Y fX u X fY u Y
Y ¼ð10Þð10Þ 125
N N N
100
64
100
55
100
¼ 160:20
Por lo tanto, la desviación estándar de las calificaciones de matemáticas y de física son 14.0 y 14.9, respectivamente, y la
covarianza es 160.2. Por lo tanto, el coeficiente de correlación r es