Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

164 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.38 Usando un espacio muestral y diagramas de Venn, mostrar que
a) PrfA [ Bg ¼PrfAgþPrfBg PrfA \ Bg
b) PrfA [ B [ Cg ¼PrfAgþPrfBgþPrfCg PrfA \ Bg PrfB \ Cg
PrfA \ CgþPrfA \ B \ Cg
SOLUCIÓN
a) La unión no mutuamente excluyente A B se puede expresar como la unión mutuamente excluyente de A \ B, B \ A,
y A B.
A
B
A∩B
B∩A
A∩B
S
Figura 6-12 Una unión expresada como unión disyunta.
PrfA [ Bg ¼PrfA \ BgþPrfB \ AgþPrfA \ Bg
Ahora en el lado derecho de la ecuación se suma y se resta Pr{A B}.
PrfA [ Bg ¼PrfA \ BÞþPrfB \ AgþPrfA \ Bgþ½PrfA \ Bg PrfA \ BgŠ
Reordenando esta ecuación de la manera siguiente:
PrfA [ Bg ¼½PrfA \ BÞþPrfA \ BgŠþ½PrfB \ AgþPrfA \ BgŠ PrfA \ Bg
PrfA [ Bg ¼PrfAgþPrfBg PrfA \ Bg
b) En la figura 6-13, el evento A está compuesto por las regiones 1, 2, 3 y 6, el evento B está compuesto por las regiones
1, 3, 4 y 7, y el evento C está compuesto por las regiones 1, 2, 4 y 5.
8
A
3
6 7
2 1 4
B
5
C
S
Figura 6-13 La unión no mutuamente excluyente de tres eventos, A B C.
El espacio muestral de la figura 6-13 está formado por 8 regiones mutuamente excluyentes. Estas 8 regiones se
describen como sigue: la región 1 es A B C, la región 2 es A C B, la región 3 es A B C, la región 4 es
A C B, la región 5 es A C B, la región 6 es A C B, la región 7 es A C B y la región 8 es A C
B.
La probabilidad Pr{ A B C} se expresa como la probabilidad de las 7 regiones mutuamente excluyentes
que forman A B C, como sigue:
Pr{A ∩ B ∩ C} + Pr{A ∩ C ∩ B} + Pr{A ∩ B ∩ C} + Pr{A ∩ C ∩ B}
+ Pr{ A ∩C ∩ B} + Pr{A ∩ C ∩ B} + Pr{A ∩ C ∩ B}