Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 397
se tiene que r 12 = r 13 r 23 .
s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a)
r
r 13:2 ¼ 13 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
¼ r 13 ðr 13 r 23 Þr
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23 r
¼ 13 ð1 r 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23Þ
1 r 2 23
13
ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ 1 r 2 12
b) Se intercambian los subíndices 1 y 2 en el resultado del inciso a).
CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL PARA CUATRO O MÁS VARIABLES
15.20 Un examen de ingreso a la universidad consta de tres partes: matemáticas, español y conocimientos generales.
Para determinar si los resultados de este examen sirven para predecir el desempeño en el curso de estadística,
se recolectan y se analizan los datos de una muestra de 200 estudiantes. Sea
X 1 = calificación en el curso de estadística X 3 = calificación en el examen de español
X 2 = calificación en el examen de matemáticas X 4 = calificación en el examen de conocimientos generales
Se obtienen los valores siguientes:
X 1 ¼ 75 s 1 ¼ 10 X 2 ¼ 24 s 2 ¼ 5
X 3 ¼ 15 s 3 ¼ 3 X 4 ¼ 36 s 4 ¼ 6
r 12 ¼ 0:90 r 13 ¼ 0:75 r 14 ¼ 0:80 r 23 ¼ 0:70 r 24 ¼ 0:70 r 34 ¼ 0:85
Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 .
SOLUCIÓN
Generalizando el resultado del problema 15.8, la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 puede
expresarse como
x 1 ¼ b 12:34 x 2 þ b 13:24 x 3 þ b 14:23 x 4 (33)
donde b 12.34 , b 13. 24 y b 14.23 se obtienen a partir de las ecuaciones normales
P P
x1 x 2 ¼ b 12:34 x
2
2
P P
þ b 13:24 x2 x 3 þ b 14:23 x2 x 4
P P P
x1 x 3 ¼ b 12:34 x2 x 3 þ b 13:24 x
2
3
P
þ b 14:23 x3 x 4
P P P P
x1 x 4 ¼ b 12:34 x2 x 4 þ b 13:24 x3 x 4 þ b 14:23 x
2
4
y donde x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 , x 3 ¼ X 3
X 3 y x 4 ¼ X 4
X 4 .
A partir de los datos dados, se encuentra
∑ x
2
2 Ns 2 2 = 5 000
∑ x 1 x 2 = Ns 1 s 2 r 12 = 9 000
∑ x 2 x 3 = Ns 1 s 3 r 23 = 2 100
∑ x
2
3 Ns 2 3 = 1 800
∑ x 1 x 3 = Ns 1 s 3 r 13 = 4 500
∑ x 2 x 4 = Ns 2 s 4 r 24 = 4 200
∑ x
2
4 Ns 2 4 = 7 200
∑ x 1 x 4 = Ns 1 s 4 r 14 = 9 600
∑ x 3 x 4 = Ns 3 s 4 r 34 = 3 060
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (34) y resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene
b 12:34 ¼ 1:3333 b 13:24 ¼ 0:0000 b 14:23 ¼ 0:5556 (35)
que al sustituirlos en la ecuación (33) dan la ecuación de regresión buscada
x 1 ¼ 1:3333x 2 þ 0:0000x 3 þ 0:5556x 4
o bien X 1 75 ¼ 1:3333ðX 2 24Þþ0:5556ðX 4 27Þ (36)