Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

CORRELACIÓN PARCIAL 385
ya obtenidas, el subíndice 1 por el subíndice 3 y el subíndice 3 por el subíndice 1. Por ejemplo, la ecuación de regresión
de X 3 sobre X 1 y X 2 es
x 3
¼ r
23 r 13 r 12 x2
s 3 1 r 2 þ r
13 r 23 r 12 x1
12
s 2 1 r 2 (10)
12
s 1
de acuerdo con la ecuación (5) y empleando las igualdades r 32 = r 23 , r 31 = r 13 y r 21 = r 12 .
GENERALIZACIONES A MÁS DE TRES VARIABLES
Estas generalizaciones se obtienen por analogía con los resultados anteriores. Por ejemplo, la ecuación de regresión
lineal de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 se expresa
X 1 ¼ b 1:234 þ b 12:34 X 2 þ b 13:24 X 3 þ b 14:23 X 4 (11)
y representa un hiperplano en el espacio de cuatro dimensiones. Multiplicando sucesivamente ambos lados de la
ecuación (11) por 1, X 2 , X 3 y X 4 y después sumando ambos lados se obtienen las ecuaciones normales con las que se
determina b 1.234 , b 12.34, b 13.24 y b 14.23 ; sustituyendo sus valores en la ecuación (11) se obtiene la ecuación de regresión
de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 . Esta ecuación de regresión de mínimos cuadrados se puede expresar
en forma similar a la de la ecuación (5). (Ver problema 15.41.)
CORRELACIÓN PARCIAL
También es importante medir la correlación entre una variable dependiente y determinada variable independiente
cuando todas las demás variables permanecen constantes; es decir, cuando se eliminan los efectos de todas las demás
variables. Esto se logra definiendo un coeficiente de correlación parcial, como la ecuación (12) del capítulo 14, salvo
que deberán considerarse las variaciones explicadas y no explicadas que surgen con esa determinada variable independiente
y sin ella.
Si r 12.3 denota el coeficiente de correlación parcial entre X 1 y X 2 cuando X 3 permanece constante, se encuentra
que
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23
(12)
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
De manera similar, si r 12.34 denota el coeficiente de correlación parcial entre X 1 y X 2 cuando X 3 y X 4 permanecen constantes,
entonces
r
r 12:34 ¼ 12:4 r 13:4 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23:4 r
q
¼ 12:3 r 14:3 r
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 24:3
(13)
ð1 r 2 13:4 Þð1 r2 23:4 Þ ð1 r 2 14:3 Þð1 r2 24:3 Þ
Estos resultados son útiles, pues mediante ellos puede hacerse que cualquier coeficiente de correlación parcial dependa
finalmente de los coeficientes de correlación r 12 , r 23 , etc. (es decir, de los coeficientes de correlación de orden
cero).
Se vio que en el caso de dos variables, X y Y, si las ecuaciones de las dos rectas de regresión son Y = a 0 + a 1 X y
X = b 0 + b 1 Y, se tiene que r 2 = a 1 b 1 (ver problema 14.22). Este resultado puede generalizarse. Por ejemplo, si
X 1 ¼ b 1:234 þ b 12:34 X 2 þ b 13:24 X 3 þ b 14:23 X 4 (14)
y X 4 ¼ b 4:123 þ b 41:23 X 1 þ b 42:13 X 2 þ b 43:12 X 3 (15)