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LA DISTRIBUCIÓN F 279
El número de grados de libertad de un estadístico, que por lo general se denota ν, se define como la cantidad N de
observaciones en la muestra (es decir, el tamaño de la muestra) menos la cantidad k de parámetros poblacionales que
tengan que estimarse a partir de las observaciones muestrales. En símbolos, ν = N − k.
En el caso del estadístico (1), la cantidad de observaciones independientes en la muestra es N, y a partir de ellas se
calculan X y s. Sin embargo, como se necesita estimar µ, k = 1 y por lo tanto ν = N − 1.
En el caso del estadístico (8), la cantidad de observaciones independientes en la muestra es N, a partir de las cuales
se calcula s. Sin embargo, como se tiene que estimar σ, k = 1 y por lo tanto ν = N − 1.
LA DISTRIBUCIÓN F
Según se ha visto, en algunas aplicaciones es importante conocer la distribución muestral de la diferencia entre las
medias ð X 1
X 2 Þ de dos muestras. De igual manera, algunas veces se necesita la distribución muestral de la diferencia
entre varianzas ðS1
2 S2Þ. 2 Sin embargo, resulta que esta distribución es bastante complicada. Debido a ello, se considera
el estadístico S1=S 2 2, 2 ya que un cociente grande o pequeño indica una gran diferencia, en tanto que un cociente
cercano a 1 indica una diferencia pequeña. En este caso se puede encontrar una distribución muestral a la que se le
conoce como distribución F en honor a R. A. Fischer.
Más precisamente, supóngase que se tienen dos muestras, 1 y 2, de tamaños N 1 y N 2 , respectivamente, obtenidas
de dos poblaciones normales (o casi normales) cuyas varianzas son 2 1 y 2 2. Sea el estadístico
F ¼ ^S 1= 2 2 1
¼ N 1S1=ðN 2 1 1Þ 2 1
^S
2 2=2 N
2 2 S2 2=ðN 2 1Þ 2 2
(13)
donde ^S 2 1 ¼ N 1S 2 1
N 1 1
^S 2 2 ¼ N 2S 2 2
N 2 1 . (14)
Entonces a la distribución muestral de F se le llama distribución F de Fisher, o simplemente distribución F, con ν 1 =
N 1 − 1 y ν 2 = N 2 − 1 grados de libertad. Esta distribución está dada por
CF ð 1=2Þ 1
Y ¼
ð 1 F þ 2 Þ ð 1þ 2 Þ=2
(15)
donde C es una constante que depende de ν 1 y ν 2 , de manera que el área total bajo la curva sea 1. Esta curva tiene una
forma similar a la de las curvas que se muestran en la figura 11-3, aunque esta forma puede variar de manera notable
de acuerdo con los valores de ν 1 y ν 2 .
0.7
0.6
Variable
F-4-2
F-5-10
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10 15 20
Figura 11-3 La línea continua representa la distribución F con 4 y 2 grados de libertad,
y la línea punteada representa la distribución F con 5 y 10 grados de libertad.