Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY 447
(es decir, 3 signos más y 9 signos menos). Si es igualmente probable obtener un + que un −, se esperaría que se obtuvieran
6 de cada uno. La prueba H 0 es, entonces, equivalente a preguntarse si una moneda está o no cargada, si en 12
lanzamientos de la moneda se obtienen 3 caras (+) y 9 cruces (−). Esto implica la distribución binomial vista en el
capítulo 7. En el problema 17.1 se muestra que empleando una prueba de dos colas con esta distribución, al nivel de
significancia 0.05, no se puede rechazar H 0 ; es decir, a este nivel no hay diferencia entre las máquinas.
Nota 1: Si algún día las máquinas producen la misma cantidad de tornillos defectuosos, una diferencia
en la secuencia (1) será cero. En este caso, se eliminan esos valores muestrales y se usan 11
en vez de 12 observaciones.
Nota 2: También puede usarse una aproximación normal a la distribución binomial empleando la
corrección por continuidad (ver problema 17.2).
Aunque la prueba de los signos es especialmente útil para muestras por pares, como la muestra de la tabla 17.1,
también puede usarse para problemas con muestras sencillas (no pares) (ver los problemas 17.3 y 17.4).
LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY
Considérese la tabla 17.2, en la que se dan las resistencias de cables hechos de dos aleaciones distintas, I y II. En esta
tabla se tienen dos muestras: 8 cables de la aleación I, y 10 cables de la aleación II. Se quiere decidir si hay diferencia
entre las muestras o, lo que es lo mismo, si provienen o no de la misma población. Aunque este problema se puede
resolver empleando la prueba t del capítulo 11, también puede utilizarse una prueba no paramétrica llamada la prueba
U de Mann-Whitney. Esta prueba consta de los pasos siguientes:
Tabla 17.2
Aleación I
Aleación II
18.3 16.4 22.7 17.8 12.6 14.1 20.5 10.7 15.9
18.9 25.3 16.1 24.2 19.6 12.9 15.2 11.8 14.7
Paso 1. Se combinan todos los valores muestrales, se ordenan de menor a mayor, y a cada uno de los valores se
le asigna una posición o rango (en este caso del 1 al 18). Si dos o más valores muestrales son idénticos (es decir, si hay
puntuaciones empatadas, o empates), a cada uno de los valores muestrales se les asigna una posición (o rango) igual
a la media de las posiciones que les tocaría ocupar. Si en la tabla 17.2 la entrada 18.9 fuera 18.3, las posiciones 12
y 13 estarían ocupadas por dos valores idénticos, de manera que la posición (o rango) asignada a cada uno sería
1
2
(12 + 13) = 12.5.
Paso 2. Se obtiene la suma de los rangos de cada muestra. Estas sumas se denotan R 1 y R 2 , siendo N 1 y N 2 los
respectivos tamaños muestrales. Por conveniencia se elige como N 1 la muestra más pequeña, si éstas no son iguales,
de manera que N 1 ≤ N 2 . Una diferencia significativa entre las sumas de los rangos R 1 y R 2 implica una diferencia
significativa entre las muestras.
Paso 3. Para probar la diferencia entre las sumas de los rangos, se usa el estadístico
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
R 1 (2)
que corresponde a la muestra 1. La distribución muestral de U es simétrica y tiene media y varianza dadas, respectivamente,
por las fórmulas
U ¼ N 1N 2
2
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ
12
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