Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 287
11.12 Encontrar el valor mediano de χ 2 que corresponda a: a) 9, b) 28 y c) 40 grados de libertad.
SOLUCIÓN
En el apéndice IV, en la columna cuyo encabezado es 2 :50 (ya que la mediana es el percentil 50), se encuentran los valores:
a) 8.34, que corresponde a ν = 9; b) 27.3, que corresponde a ν = 28, y c) 39.3, que corresponde a ν = 40.
Resulta interesante observar que los valores medianos están muy cercanos a la igualdad del número de grados de
libertad. De hecho, para ν > 10, los valores medianos son iguales a (ν − 0.7), como puede verse en la tabla.
11.13 La desviación estándar de las estaturas de 16 estudiantes elegidos en forma aleatoria en una escuela de 1 000
estudiantes es 2.40 in. Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la desviación estándar de
las estaturas de todos los estudiantes de esta escuela.
SOLUCIÓN
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
a) Los límites de confianza de 95% son s N =:975 y s N =:025 .
Para ν = 16 − 1 = 15 grados de libertad, p 2 :975 = 27.5 (o bien χ .975 = 5.24) y 2 :025 = 6.26 (o bien χ .025 = 2.50).
Los límites de confianza de 95% son 2:40
ffiffiffiffiffi
p ffiffiffiffiffi
16 =5:24 y 2:40 16 =2:50 (es decir, 1.83 y 3.84 in). Por lo tanto, se puede
tener una confianza de 95% de que la desviación estándar poblacional se encuentra entre 1.83 y 3.84 in.
p ffiffiffiffi p
b) Los límites de confianza de 99% son s N =:995 y s= ffiffiffiffi
N =:005 .
Para ν = 16 − 1 = 15 grados de libertad están dados por p 2 :995 = 32.8 (o χ .995 = 5.73) y 2 :005 = 4.60 (o bien
χ .005 = 2.14). Entonces los límites de confianza de 99% son 2:40
ffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi
16 =5:73 y 2.40 16 /2.14 (es decir, 1.68 y 4.49 in).
Por lo tanto, se puede tener una confianza de 99% de que la desviación estándar poblacional se encuentre entre 1.68
y 4.49 in.
11.14 Encontrar 2 :95 para: a) ν = 50 y b) ν = 100 grados de libertad.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Para ν mayor que 30 se puede emplear el hecho de que 2 2 2 1 es una distribución aproximadamente normal en
la que la media es 0 y la desviación estándar es 1. Entonces, si z p es un percentil de la puntuación z en la distribución normal
estándar, se puede escribir, con un alto grado de aproximación,
qffiffiffiffiffiffiffi
2 2 p
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1 ¼ z p
o
qffiffiffiffiffiffiffi
2 2 p
p
¼ z p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
de donde 2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ 2 .
a) Si ¼ 50, 2 :95 ¼ 1 2 ðz p
:95 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð50Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:64 þ
p ffiffiffiffiffi
99 Þ 2 ¼ 67:2, lo que coincide muy bien con el valor 67.5 dado
en el apéndice IV.
b) Si ¼ 100, 2 :95 ¼ 1 2 ðz p
:95 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð100Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:64 þ
p ffiffiffiffiffiffiffi
199 Þ 2 ¼ 124:0 (verdadero valor = 124.3).
11.15 La desviación estándar del tiempo de vida de una muestra de 200 bombillas eléctricas es 100 horas (h). Encontrar
los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la desviación estándar de estas bombillas eléctricas.
SOLUCIÓN
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
a) Los límites de confianza de 95% están dados por s N =:975 y s N =:025 .
Para ν = 200 − 1 = 199 grados de libertad, se encuentra (como en el problema 11.14)
2 :975 ¼ 1 2 ðz p
:975 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:96 þ 19:92Þ2 ¼ 239
2 :025 ¼ 1 2 ðz p
:025 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð 1:96 þ 19:92Þ2 ¼ 161
p
por lo tanto, χ .975 = 15.5 y χ 0.025 = 12.7. De manera que los límites de confianza del 95% son 100
ffiffiffiffiffiffiffi
p
200 =15:5 ¼
91.2 h y 100 ffiffiffiffiffiffiffi
200 =12:7 ¼ 111:3 h, respectivamente. Se puede tener una confianza de 95% en que la desviación estándar
poblacional esté entre 91.2 y 111.3 h.