Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

160 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
Otro método
La niña puede elegir 1 de 5 flores, 2 de 5 flores, ..., 5 de 5 flores. Por lo tanto, el número de ramos que puede formar es
5
þ 5
þ 5
þ 5
þ 5 ¼ 5 þ 10 þ 10 þ 5 þ 1 ¼ 31
1 2 3 4 5
En general, para todo número entero positivo n,
n
þ n
þ n
þþ
n
¼ 2 n 1
1 2 3 n
6.30 Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cuántas palabras con 4 consonantes distintas y 3 vocales distintas pueden
formarse? No importa que las palabras no tengan significado.
SOLUCIÓN
Las cuatro consonantes distintas pueden elegirse de ( 7 4 ) maneras, las tres vocales distintas pueden elegirse de (5 3 ) maneras, y
estas 7 letras (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse de 7 P 7 = 7! maneras. Por lo tanto, el número de palabras es
7 5
7! ¼ 35 10 5 040 = 1 764 000
4 3
APROXIMACIÓN DE STIRLING PARA n!
6.31 Evaluar 50!
SOLUCIÓN
p
Cuando n es grande se tiene n!
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2n n n e n ; por lo tanto,
p
50! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð50Þ50 50 e 50 ¼ S
Para evaluar S se usan logaritmos base 10. Por lo tanto,
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
log S ¼ log ð 10050 50 e 50 Þ¼ 1 2 log 100 þ 1 2
log þ 50 log 50 50 log e
¼ 1 2 log 100 þ 1 2
log 3:142 þ 50 log 50 50 log 2:718
¼ 1 2 ð2Þþ1 2
ð0:4972Þþ50ð1:6990Þ 50ð0:4343Þ ¼64:4846
de lo que se encuentra que S = 3.05 × 10 64 , número que tiene 65 dígitos.
PROBABILIDAD Y ANÁLISIS COMBINATORIO
6.32 Una caja contiene 8 pelotas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 pelotas en forma aleatoria, determinar
la probabilidad de que: a) las 3 sean rojas, b) las 3 sean blancas, c) 2 sean rojas y 1 sea blanca, d ) por lo menos
1 sea blanca, e) se extraiga una de cada color y f ) se extraigan en el orden roja, blanca, azul.
SOLUCIÓN
a) Primer método
Sean R 1 , R 2 y R 3 los eventos “pelota roja en la primera extracción”, “pelota roja en la segunda extracción”, “pelota roja
en la tercera extracción”, respectivamente. Entonces R 1 R 2 R 3 denota el evento de que las tres pelotas extraídas sean
rojas.
PrfR 1 R 2 R 3 g¼PrfR 1 g PrfR 2 jR 1 g PrfR 3 jR 1 R 2 g¼ 8
7 6
¼ 14
20 19 18 285