Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 251
10.2 Para probar la hipótesis de que una moneda no está cargada se adopta la siguiente regla de decisión:
Aceptar la hipótesis si el número de caras de una sola muestra de 100 lanzamientos está entre 40 y 60
inclusive.
Rechazar la hipótesis si no es así.
a) Encontrar la probabilidad de rechazar la hipótesis en caso de que en realidad sea correcta.
b) Graficar la regla de decisión y el resultado del inciso a).
c) ¿A qué conclusión se llega si en la muestra de 100 lanzamientos se obtienen 53 caras? ¿Y si se obtienen
60 caras?
d ) ¿Puede estar equivocada la conclusión obtenida en el inciso c)?
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 10.1, la probabilidad de que no se obtengan entre 40 y 60 caras inclusive si la moneda no
está cargada es 1 − 0.9642 = 0.0358. Por lo tanto, la probabilidad de rechazar la hipótesis (nula) cuando en realidad
sea correcta es 0.0358.
b) En la figura 10.2 se ilustra la regla de decisión. Se muestra la distribución de probabilidad para la obtención de caras
en 100 lanzamientos de una moneda no cargada. Si en una sola muestra de 100 lanzamientos se obtiene una puntuación
z entre −2.10 y 2.10, se acepta la hipótesis; si no es así, se rechaza la hipótesis y se concluye que la moneda está
cargada.
El error que se comete si se rechaza la hipótesis cuando en realidad deba aceptarse es el error tipo I de la regla
de decisión, y la probabilidad de cometer este error es igual a 0.0358, de acuerdo con el inciso a); este error está
representado por el total del área sombreada de la figura. Si en una sola muestra de 100 lanzamientos se obtiene una
cantidad de caras cuya puntuación z (o estadístico z) se encuentra en la región sombreada, se dice que la puntuación z
difiere de manera significativa de lo que se esperaría si la hipótesis fuera verdadera. Es por esta razón que a la región
sombreada (es decir, a la probabilidad de cometer un error tipo I) se le conoce como nivel de significancia de la regla
de decisión, que en este caso es igual a 0.0358. Por lo tanto, se habla de rechazo de la hipótesis a nivel de significancia
0.0358 (o 3.58%).
c) De acuerdo con la regla de decisión, en ambos casos debe aceptarse la hipótesis de que la moneda no está cargada.
Puede argumentarse que bastará que se obtenga una cara más para que se rechace la hipótesis. Esto es a lo que se
enfrenta cuando se emplea una clara línea divisoria para tomar una decisión.
d ) Sí. Tal vez se acepte la hipótesis cuando en realidad debería haberse rechazado, que sería el caso, por ejemplo, si la
probabilidad de cara fuera en realidad 0.7 en lugar de 0.5. El error que se comete al aceptar una hipótesis que debería
rechazarse es un error tipo II de la decisión.
Región de
rechazo
Región de
aceptación
Región de
rechazo
z = −2.10 z = 2.10
Figura 10-2 Curva normal estándar en la que se muestran las regiones de aceptación
y de rechazo para probar que una moneda no está cargada.