Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 301
12.5 En la tabla 12.9 se muestra la distribución de los dígitos 0, 1, 2, . . . , 9 en los 250 dígitos de una tabla de números
aleatorios. a) Encontrar el valor del estadístico de prueba χ 2 , b) encontrar el valor crítico correspondiente
a α = 0.01 y dar una conclusión y c) encontrar el valor p correspondiente al valor encontrado en el inciso a)
y dar una conclusión para α = 0.01.
Tabla 12.9
Dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencias observadas 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36
Frecuencias esperadas 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
SOLUCIÓN
a) 2 ¼
ð17 25Þ2
25
þ ð31
25Þ2 þ ð29
25
25Þ2 þ ð18
25
25Þ2
25
þþ ð36
25Þ2
25
¼ 23:3
b) El valor crítico correspondiente a 0.01 se obtiene mediante la expresión =CHIINV(0.01,9) y es 21.6660. Como el
valor obtenido para χ 2 es mayor a este valor, se rechaza la hipótesis de que estos números sean aleatorios.
c) Empleando EXCEL, el valor p se obtiene mediante la expresión =CHIDIST(23.3,9) y es 0.0056, que es menor a 0.01.
De manera que con la técnica del valor p se rechaza la hipótesis nula.
12.6 En un experimento empleando chícharos, Gregor Mendel observó que 315 eran redondos y amarillos, 108 eran
redondos y verdes, 101 eran deformes y amarillos, y 32 eran deformes y verdes. De acuerdo con su teoría sobre
la herencia, estas cantidades debían estar en la proporción 9:3:3:1. ¿Existe alguna evidencia que haga dudar de
su teoría a los niveles de significancia: a) 0.01 y b) 0.05?
SOLUCIÓN
La cantidad total de chícharos es 315 + 108 + 101 + 35 = 556. Como las cantidades esperadas están en la proporción
9:3:3:1 (y 9 + 3 + 3 + 1 = 16), se esperaría que hubiera
Por lo tanto, 2 ¼
9
16 (556) =312.75 redondos y amarillos 3
16
(556) =104.25 deformes y amarillos
3
16 (556) =104.25 redondos y verdes 1
16
(556) =34.75 deformes y verdes
ð315 312:75Þ2 ð108 104:25Þ2 ð101 104:25Þ2 ð32 34:75Þ2
þ þ þ ¼ 0:470
312:75
104:25
104:25 34:75
Dado que hay cuatro categorías, k = 4 y el número de grados de libertad es ν = 4 − 1 = 3.
a) Para = 3,
2
.99 = 11.3; por lo tanto, al nivel 0.01 no puede rechazarse su teoría.
b) Para = 3,
2
.95 = 7.81; por lo tanto, al nivel 0.05 no puede rechazarse su teoría.
Se concluye que sí hay coincidencia entre la teoría y la experimentación.
Obsérvese que para 3 grados de libertad 2 :05 = 0.352 y χ 2 = 0.470 > 0.352. Por lo tanto, aunque la coincidencia sea
buena, el resultado obtenido está sujeto a una cantidad razonable de error muestral.
12.7 En una urna hay una cantidad grande de canicas de cuatro colores: rojas, anaranjadas, amarillas y verdes. En
una muestra de 12 canicas, tomada de la urna en forma aleatoria, se encuentran 2 canicas rojas, 4 canicas anaranjadas,
4 canicas amarillas y 1 canica verde. Probar la hipótesis de que en la urna las canicas de los distintos
colores están en la misma proporción.
SOLUCIÓN
Bajo la hipótesis de que en la urna hay la misma proporción de canicas de cada color, se esperaría que en una muestra de
12 canicas hubiera 3 de cada color. Como las cantidades esperadas son menores a 5, la aproximación ji cuadrada será
errónea. Para evitar esto se fusionan categorías de manera que el tamaño de cada categoría sea por lo menos 5.