Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

96 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
EJEMPLO 2 Encuentre la desviación media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11.
DM ¼
Media aritmética ð XÞ ¼ 2 þ 3 þ 6 þ 8 þ 11 ¼ 6
5
j2 6jþj3 6jþj6 6jþj8 6jþj11 6j j 4jþj 3jþj0jþj2jþj5j
¼
5
5
¼ 4 þ 3 þ 0 þ 2 þ 5 ¼ 2:8
5
Si X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K , respectivamente, la desviación media puede expresarse
como
DM ¼
X K
j¼1
f j jX j
N
Xj P f jX
¼
N
Xj
¼jX Xj (2)
donde N ¼ P K
j¼1 f j ¼ P f . Esta fórmula es útil para datos agrupados, donde las X j representan las marcas de clase y
las f j las correspondientes frecuencias de clase.
En ocasiones, la desviación media se define en términos de las desviaciones absolutas respecto de la mediana o de
aj es que es mínima cuando
a es la mediana (es decir, la desviación media absoluta con respecto de la mediana es un mínimo).
Obsérvese que sería más apropiado emplear el término desviación media absoluta en vez de desviación media.
otro promedio, y no respecto de la media. Una propiedad interesante de la suma P N
j¼1 jX j
RANGO SEMIINTERCUARTIL
El rango semiintercuartil, o desviación cuartil, de un conjunto de datos se denota Q y está definido por
Q ¼ Q 3 Q 1
2
(3)
donde Q 1 y Q 3 son el primero y tercer cuartiles en los datos (ver problemas 4.6 y 4.7). Algunas veces se usa el rango
intercuartil Q 3 − Q 1; sin embargo, el rango semiintercuartil es más usado como medida de dispersión.
RANGO PERCENTIL 10-90
El rango percentil 10-90 de un conjunto de datos está definido por
Rango percentil 10-90 = P 90 − P 10 (4)
donde P 10 y P 90 son los percentiles 10o. y 90o. en los datos (ver problema 4.8). El rango semipercentil 10-90,
1
2 (P 90 − P 10 ), también puede usarse, pero no es muy común.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación estándar de un conjunto de N números X 1 , X 2 , . . . , X N se denota como s y está definida por
s ¼
sffi
X N
j¼1
ðX j
XÞ 2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðX XÞ 2 P qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
¼
¼ ¼ ðX XÞ 2
N
N
N
(5)
donde x representa la desviación de cada uno de los números X j respecto a la media X. Por lo tanto, s es la raíz cuadrada
de la media (RCM) de las desviaciones respecto de la media, o, como suele llamársele algunas veces, la desviación
raíz-media-cuadrado.