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CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS 63
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética
es cero.
EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6, son 8 − 7.6, 3 − 7.6, 5 − 7.6,
12 − 7.6 y 10 −7.6 o bien 0.4, −4.6, −2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma algebraica es 0.4 − 4.6 − 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0.
2. En un conjunto de números X j , la suma de los cuadrados de sus desviaciones respecto a un número a es un mínimo
si y sólo si a = X (ver el problema 4.27).
3. Si la media de f 1 números es m 1 , la media de f 2 números es m 2 , . . . , la media de f k números es m k , entonces la media
de todos estos números es
X ¼ f 1m 1 þ f 2 m 2 þþf K m K
f 1 þ f 2 þþf K
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es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problemas 3.12).
4. Si se cree o se supone que un número A (que puede ser cualquier número) es la media aritmética y si d j = X j − A
son las desviaciones de X j de A, entonces las ecuaciones (1) y (2) se convierten, respectivamente, en
X ¼ A þ
X ¼ A þ
X K
X N
d j
j¼1
j¼1
X K
j¼1
N
f j d j
f j
¼ A þ P d
N
P fd
¼ A þ
N
(5)
(6)
donde N = ∑N j=1 f j = ∑ f . Obsérvese que las fórmulas (5) y (6) se resumen en la ecuación X ¼ A þ d (ver
problema 3.18).
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos los datos que caen en un
intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las
X j como las marcas de clase, a las f j como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase
supuesta y d j = X j − A como la desviación de X j respecto de A, las fórmulas (2) y (6) son válidas.
A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele conocer como método largo y método abreviado, respectivamente
(ver los problemas 3.15 y 3.20).
Si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones d j = X j − A se pueden expresar como
cu j , donde u j puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es decir, 0, ±1, ±2, ±3, . . .) con lo que la
fórmula (6) se convierte en
0
B
@
X ¼ A þ
X K
j¼1
1
f j u j C
A
P fu
¼ A þ c
N
N
lo que es equivalente a la ecuación X ¼ A þ cu (ver problema 3.21). A esta ecuación se le conoce como método codificado
para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos agrupados cuando los intervalos de
clase tienen todos la misma amplitud (ver problemas 3.22 y 3.23). Obsérvese que en el método codificado los valores
de la variable X se transforman en valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu.
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