Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

348 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Empleando la recta de regresión (4), el error estándar de estimación análogo, de X sobre Y, es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX Xest Þ 2
s X:Y ¼
N
(9)
En general, s Y.X ≠ s X.Y .
La ecuación (8) también puede expresarse en la forma
P Y
s 2 2
Y:X ¼
P
a 0 Y
N
a1
P XY
(10)
que puede ser más apropiada para hacer los cálculos (ver problema 14.3). Para la ecuación (9) existe una expresión
similar.
El error estándar de estimación tiene propiedades análogas a la desviación estándar. Por ejemplo, si se trazan rectas
paralelas a la recta de regresión de Y sobre X a las distancias verticales s Y.X , 2s Y.X y 3s Y.X , se hallará, si N es suficientemente
grande, que entre estas rectas se encuentra 68%, 95% y 99.7% de los puntos muestrales, respectivamente.
Así como la desviación estándar modificada, que es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
^s ¼ s
N 1
se emplea para muestras pequeñas, también el error estándar de estimación modificado está dado por
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
^s Y:X ¼
N 2
A esto se debe que algunos especialistas en estadística prefieran definir las ecuaciones (8) y (9) empleando N − 2 en
el denominador en lugar de N.
s Y:X
VARIACIÓN EXPLICADA Y NO EXPLICADA
La variación total de Y se define como P ðY YÞ 2 ; es decir, la suma de los cuadrados de las desviaciones de Y respecto
a la media Y. Como se muestra en el problema 14.7, esta expresión se puede expresar como
P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 (11)
En la ecuación (11), al primer término del lado derecho se le llama variación no explicada, en tanto que al segundo
término se le llama variación explicada; se les llama así debido a que las desviaciones Y est
Y tienen un patrón
definido; en cambio, las desviaciones Y − Y est son aleatorias o impredecibles. Para la variable X existe una fórmula
similar.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Al cociente de la variación explicada entre la variación total se le llama coeficiente de determinación. Si hay cero
variación explicada (es decir, si la variación total es sólo variación no explicada), este cociente es 0. Si hay 0 variación
no explicada (es decir, si la variación total es sólo variación explicada), este cociente es 1. En los demás casos, este
cociente se encuentra entre 0 y 1; como siempre es no negativo, se denota r 2 . A la cantidad r se le llama coeficiente de
correlación; está dado por
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
explained variación explicada variation ðYest YÞ 2
r ¼
¼ P
total variación variation total
ðY YÞ 2
(12)