Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

288 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
b) Los límites de confianza de 99% están dados por s N =:995 y s N =:005 .
Para ν = 200 − 1 = 199 grados de libertad,
2 :995 ¼ 1 2 ðz p
:995 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð2:58 þ 19:92Þ2 ¼ 253
2 :005 ¼ 1 2 ðz p
:005 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð 2:58 þ 19:92Þ2 ¼ 150
p
por lo tanto, χ .995 = 15.9 y χ .005 = 12.2. De manera que los límites de confianza del 99% son 100
ffiffiffiffiffiffiffi
p
200 =15:9 ¼
88.9 h y 100 ffiffiffiffiffiffiffi
200 =12:2 ¼ 115:9 h, respectivamente. Se puede tener una confianza de 99% en que la desviación estándar
poblacional esté entre 88.9 y 115.9 h.
11.16 Un fabricante de ejes requiere que en el proceso de fabricación el diámetro de los ejes sea 5.000 cm. Además,
para garantizar que las ruedas se ajusten de manera adecuada a los ejes, es necesario que la desviación estándar
en los diámetros sea 0.005 cm o menos. En la tabla 11.4 se presentan los diámetros de los 20 ejes de una
muestra.
Tabla 11.4
4.996 4.998 5.002 4.999
5.010 4.997 5.003 4.998
5.006 5.004 5.000 4.993
5.002 4.996 5.005 4.992
5.007 5.003 5.000 5.000
El fabricante desea probar la hipótesis nula de que la desviación estándar poblacional es 0.005 cm contra
la hipótesis alternativa de que la desviación estándar poblacional es mayor a 0.005 cm. Si se confirma la hipótesis
alternativa, entonces el proceso de fabricación debe detenerse y deben hacerse ajustes a las máquinas. Para
la prueba se supone que los diámetros de los ejes tienen una distribución normal. Probar esta suposición al nivel
de significancia 0.05. Si se está dispuesto a suponer normalidad, entonces hacer la prueba concerniente a
la desviación estándar poblacional al nivel de significancia 0.05.
SOLUCIÓN
En la figura 11-8 se muestra la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk. Como el valor p que se obtiene es grande (0.9966),
no se puede rechazar la normalidad. Esta gráfica de probabilidad y el análisis de Shapiro-Wilk se hicieron empleando el
paquete STATISTIX de software para estadística.
Se tiene que decidir entre las hipótesis:
H 0 : σ = 0.005 cm, el valor observado se debe a la casualidad.
H 1 : σ = 0.005 cm, la variabilidad es demasiado grande.
El análisis realizado con SAS es el siguiente:
One Sample Chi-square Test for a Variance
Sample Statistics for diameter
N Mean Std. Dev. Variance
-----------------------------------------------------------
20 5.0006 0.0046 215E-7
Hypothesis Test
Null hypothesis: Variance of diameter <=0.000025
Alternative: Variance of diameter > 0.000025
Chi-square Df Prob
---------------------------------------
16.358 19 0.6333
Como el valor p obtenido (0.6333) es grande, esto indica que la hipótesis nula no se debe rechazar.