Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

158 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
b) Considere a los 4 libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se tienen 9 libros que se pueden acomodar
de 9 P 9 = 9! maneras. En todas estas maneras, los libros de matemáticas están juntos. Pero los libros de matemáticas,
entre ellos, se pueden acomodar de 4 P 4 = 4! maneras. Por lo tanto, el número de acomodos buscado es = 9! 4! =
8 709 120.
6.23 Cinco canicas rojas, 2 canicas blancas y 3 azules están ordenadas en línea. Si las canicas de un mismo color no
se distinguen unas de otras, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden tener? Para evaluar esta expresión usar
la función de EXCEL definida como =MULTINOMIAL.
SOLUCIÓN
Supóngase que existen P ordenaciones diferentes. Multiplicando P por el número de maneras en las que se pueden ordenar:
a) las 5 canicas rojas entre sí, b) las 2 canicas blancas entre sí y c) las 3 canicas azules entre sí (es decir, multiplicando P
por 5! 2! 3!), se obtiene el número de maneras en que se pueden ordenar las 10 canicas si son distinguibles (es decir, 10!).
Por lo tanto,
(5!2!3!)P = 10! y P ¼ 10!
5!2!3!
En general, el número de ordenaciones de n objetos de los cuales n 1 son iguales, n 2 son iguales, . . . , n k son iguales es
n!
n 1 !n 2 ! n k !
donde n 1 + n 2 + . . . + n k = n.
Con la función de EXCEL definida como =MULTINOMIAL(5,2,3) se obtiene 2 520.
6.24 ¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas a una mesa redonda si: a) las 7 se pueden sentar en cualquier
lugar y b) 2 determinadas personas no pueden sentarse juntas?
SOLUCIÓN
a) Se escoge una de las personas para sentarla en cualquier lugar. Entonces, las 6 personas restantes se pueden sentar de
6! = 720 maneras, que es el total de maneras de acomodar a 7 personas en una mesa redonda.
b) Considérese como una sola persona a las dos personas que no se pueden sentar juntas. Entonces, quedan 6 personas
en total que se pueden acomodar de 5! maneras. Pero las dos personas consideradas como una sola, entre ellas, se
pueden acomodar de 2! maneras. Por lo tanto, la cantidad de maneras en que se pueden acomodar 6 personas en una
mesa redonda sentando 2 personas juntas es 5!2! = 240.
Entonces, empleando el inciso a), el total de maneras en las que 7 personas se pueden sentar a una mesa redonda,
de manera que 2 determinadas personas no se sienten juntas = 720 − 240 = 480 maneras.
COMBINACIONES
6.25 ¿De cuántas maneras pueden colocarse 10 objetos en dos grupos, uno de 4 y otro de 6 objetos?
SOLUCIÓN
Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 son iguales entre sí y 6 son iguales entre sí.
De acuerdo con el problema 6.23, esto es
10!
4!6! ¼ 10 9 8 7 ¼ 210
4!
Este problema es equivalente a hallar de cuántas maneras se pueden tomar 4 de 10 objetos (o bien 6 de 10 objetos)
sin importar el orden.
En general, el número de maneras en que se pueden seleccionar r de n objetos, a lo que se le llama el número de
combinaciones de n cosas tomadas de r en r, se denota ð n rÞ y está dado por
n
r
n!
¼
r!ðn rÞ!
¼
nðn 1Þðn r þ 1Þ
r!
¼ n P r
r!