Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

210 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
d )
lo que ilustra que X ¼ .
La varianza de la distribución muestral de las medias es
2 X ¼ ð2:5 6:0Þ2 þð4:0 6:0Þ 2 þð5:0 6:0Þ 2 þþð9:5 6:0Þ 2
10
¼ 4:05
y X ¼ 2:01. Esto ilustra que
ya que el lado derecho es igual a
2 X ¼ 2
N
10:8
2
N p
N
N p 1
5 2
5 1
¼ 4:05
que es lo que se obtuvo antes.
8.3 Supóngase que las estaturas de 3 000 estudiantes del sexo masculino de una universidad tienen una distribución
normal con media 68.0 pulgadas (in) y desviación estándar 3.0 in. Si se obtienen 80 muestras, cada una de 25
estudiantes, ¿cuáles serán la media y la desviación estándar esperadas de la distribución muestral de las medias
si el muestreo se hace: a) con reposición y b) sin reposición?
SOLUCIÓN
El número de muestras de tamaño 25 que teóricamente pueden obtenerse de un grupo de 3 000 estudiantes, con reposición
y sin ésta son, respectivamente (3 000) 25 y ð 3000
25
Þ, que son mucho más que 80. De manera que no se obtendrá una verdadera
distribución muestral de las medias, sino únicamente una distribución muestral experimental. De cualquier manera,
dado que el número de muestras es grande, habrá una estrecha coincidencia entre las dos distribuciones muestrales. Por lo
tanto, la media y la desviación estándar esperadas serán muy semejantes a las de la distribución teórica. Se tiene:
a) X ¼ ¼ 68:0in y X ¼ p ffiffiffiffi ¼ p
3 ffiffiffiffiffi ¼ 0:6in
N 25
√
¯¯¯¯¯¯¯¯
N
b) X ¼ 68:0in y X = √ p N
= 3¯¯¯
√
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 3 000 25
√
¯¯ N N p 1 25 3 000 1
que es apenas ligeramente menor a 0.6 in y por lo tanto, para fines prácticos, puede considerarse igual a la del muestreo
con reposición.
De esta manera, se espera que la distribución muestral experimental de las medias esté distribuida de manera
aproximadamente normal con media 68.0 in y desviación estándar 0.6 in.
8.4 ¿En cuántas de las muestras del problema 8.3 se esperaría encontrar que la media: a) estuviera entre 66.8 y
68.3 in y b) fuera menor a 66.4 in?
SOLUCIÓN
La media X de una muestra, en unidades estándar, está dada por
z ¼ X
X
X
a) 66.8 en unidades estándar ¼
68.3 en unidades estándar ¼
¼ X 68:0
0:6
66:8 68:0
¼ 2:0
0:6
68:3 68:0
¼ 0:5
0:6