Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

302 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Si se desea rechazar la hipótesis habrá que combinar las categorías de manera que la evidencia contra la hipótesis
sea la mejor posible. En tal caso, esto se logra formando las categorías “rojas o verdes” y “anaranjadas o amarillas”, con lo
cual las muestras serán de 3 y 9 canicas, respectivamente. Como la cantidad esperada en cada categoría, de acuerdo con la
hipótesis de proporciones iguales, es 6, se tiene
2 ¼ ð3
6Þ2 þ ð9
6
Para ν = 2 − 1 = 1, 2 :95 = 3.84. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.05 no se puede rechazar la hipótesis (aunque
sí al nivel de significancia 0.10). Por supuesto que los resultados obtenidos pueden deberse únicamente a la casualidad aun
cuando los distintos colores estén en la misma proporción.
Otro método
Empleando la corrección de Yates, se encuentra
2 ¼
6Þ2
6
ðj3 6j 0:5Þ2 ðj9 6j 0:5Þ2
þ
6
6
¼ 3
¼ ð2:5Þ2 þ ð2:5Þ2 ¼ 2:1
6 6
lo que conduce a la misma conclusión obtenida antes. Esto era de esperarse, ya que la corrección de Yates siempre reduce
el valor de χ 2 .
Nótese que empleando la aproximación χ 2 , aun cuando las frecuencias son demasiado pequeñas, se obtiene
2 ¼ ð2
3Þ2 þ ð5
3
3Þ2 þ ð4
3
3Þ2 þ ð1
3
3Þ2
3
¼ 3:33
Como ν = 4 − 1 = 3, 2 :95 = 7.81 y se llega a la misma conclusión que antes. Infortunadamente, cuando las frecuencias
son pequeñas, la aproximación χ 2 es pobre; por lo tanto, cuando no sea recomendable combinar frecuencias hay que recurrir
a los métodos exactos de probabilidad del capítulo 6.
12.8 En 360 lanzamientos de un par de dados se obtuvo 74 veces un 7 y 24 veces un 11. Empleando como nivel de
significancia 0.05 pruebe la hipótesis de que el dado no está cargado.
SOLUCIÓN
Un par de dados pueden caer de 36 maneras. El número once se puede obtener de 6 maneras y el número siete de 2 maneras.
Entonces Pr{siete} ¼ 6
36 ¼ 1 6 y Pr{once} ¼ 2
36 ¼ 1
18 . Por lo tanto, en 360 lanzamientos se esperan 1 6
ð360Þ ¼60 sietes y
1
18 ð360Þ ¼20 onces, de manera que 2 ¼
ð74 60Þ2
þ ð24 20Þ2
60 20
¼ 4:07
Para ν = 2 − 1 = 1, 2 :95 = 3.84. Por lo tanto, como 4.07 > 3.84, se estará inclinado a rechazar la hipótesis de que
el dado no está cargado. Sin embargo, empleando la corrección de Yates se encuentra
χ 2 (corregida) ¼
ðj74 60j 0:5Þ2
60
ðj24 20j 0:5Þ2
þ
20
¼ ð13:5Þ2 þ ð3:5Þ2 ¼ 3:65
60 20
Así, de acuerdo con el valor de χ 2 corregida, no se puede rechazar la hipótesis al nivel 0.05.
En general, con muestras grandes como las que se tienen en este caso, los resultados empleando la corrección de
Yates son más confiables que sin usar la corrección de Yates. Sin embargo, como aun el valor corregido de χ 2 está tan
cercano al valor crítico, se estará indeciso para tomar una decisión en un sentido o en otro. En tales casos, quizá lo mejor
sea aumentar el tamaño de la muestra si, por alguna razón, se está especialmente interesado en el nivel 0.05; si no es así, se
puede rechazar la hipótesis a algún otro nivel (por ejemplo, al nivel 0.10) si esto es satisfactorio.
12.9 Se estudian 320 familias de 5 hijos cada una y se encuentra la distribución que se muestra en la tabla 12.10.
¿Este resultado es consistente con la hipótesis de que el nacimiento de un hombre o de una mujer es igualmente
probable?