Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 87
La prueba consiste en demostrar el proceso inverso. Entonces, partiendo
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
de (a − b) 2 > 0, que se sabe que es verdadero,
se puede mostrar que a 2 + b 2 > 2ab, 1 2 (a2 + b 2 1
p
) > ab y finalmente
2 ða2 þ b 2 Þ > ffiffiffiffiffi
ab , que es lo pedido.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
1
Obsérvese que
2 ða2 þ b 2 Þ ¼
ffiffiffiffiffi
ab si y sólo si a = b.
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
3.44 Para los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (ver problema 2.9), encontrar: a) los cuartiles Q 1 , Q 2
y Q 3 y b) los deciles D 1 , D 2 , . . . , D 9 .
SOLUCIÓN
a) El primer cuartil Q 1 es el salario que se encuentra contando N/4 = 65/4 = 16.25 de los casos, comenzando con la
primera clase (la más baja). Como la primera clase contiene 8 casos, hay que tomar 8.5 (16.25 − 8) casos de los 10 de
la segunda clase. Usando el método de interpolación lineal, se tiene
Q 1 ¼ $259:995 þ 8:25 ð$10:00Þ ¼$268:25
10
El segundo cuartil Q 2 se encuentra contando los primeros 2N/4 = N/2 = 65/2 = 32.5 de los casos. Como las
primeras dos clases comprenden 18 casos, se deben tomar 32.5 – 18 = 14.5 casos de los 16 de la tercera clase, por lo
tanto
Q 2 ¼ $269:995 þ 14:5 ð$10:00Þ ¼$279:06
16
Obsérvese que Q 2 es la mediana.
El tercer cuartil Q 3 se encuentra contando los primeros 3N/4 = 3 4 (65) = 48.75 de los casos. Como las primeras
cuatro clases comprenden 48 casos, se deben tomar 48.75 – 48 = 0.75 casos de los 10 de la quinta clase; por lo tanto
Q 3 ¼ $289:995 þ 0:75 ð$10:00Þ ¼$290:75
10
Así, 25% de los empleados ganan $268.25 o menos, 50% gana $279.06 o menos y 75% gana $290.75 o
menos.
b) Los deciles primero, segundo, . . . , y noveno se obtienen contando N/10, 2N/10, . . . , 9N/10 de los casos empezando
por la primer clase (inferior). Por lo tanto
D 1 ¼ $249:995 þ 6:5
8 ð$10:00Þ ¼$258:12 D 6 ¼ $279:995 þ 5 ð$10:00Þ ¼$283:57
14
D 2 ¼ $259:995 þ 5
10 ð$10:00Þ ¼$265:00 D 7 ¼ $279:995 þ 11:5 ð$10:00Þ ¼$288:21
14
D 3 ¼ $269:995 þ 1:5
16 ð$10:00Þ ¼$270:94 D 8 ¼ $289:995 þ 4 ð$10:00Þ ¼$294:00
10
D 4 ¼ $269:995 þ 8
16 ð$10:00Þ ¼$275:00 D 9 ¼ $299:995 þ 0:5 ð$10:00Þ ¼$301:00
5
D 5 ¼ $269:995 þ 14:5 ð$10:00Þ ¼$279:06
16
De manera que 10% de los empleados gana $258.12 o menos, 20% gana $265.00 o menos, . . . , 90% gana $301.00
o menos.
Obsérvese que el quinto decil es la mediana. Los deciles segundo, cuarto, sexto y octavo, que dividen la distribución
en cinco partes iguales y a los que se les llama quintiles, también suelen usarse en la práctica.